Theorem sowlin 4075

Description: A strict order relation satisfies weak linearity. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sowlin	|- ( ( R Or A /\ ( B e. A /\ C e. A /\ D e. A ) ) -> ( B R C -> ( B R D \/ D R C ) ) )

Proof of Theorem sowlin

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3788	. . . . 5 |- ( x = B -> ( x R y <-> B R y ) )
2		breq1 3788	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( x R z <-> B R z ) )
3	2	orbi1d 737	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( x R z \/ z R y ) <-> ( B R z \/ z R y ) ) )
4	1, 3	imbi12d 232	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) <-> ( B R y -> ( B R z \/ z R y ) ) ) )
5	4	imbi2d 228	. . 3 |- ( x = B -> ( ( R Or A -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) <-> ( R Or A -> ( B R y -> ( B R z \/ z R y ) ) ) ) )
6		breq2 3789	. . . . 5 |- ( y = C -> ( B R y <-> B R C ) )
7		breq2 3789	. . . . . 6 |- ( y = C -> ( z R y <-> z R C ) )
8	7	orbi2d 736	. . . . 5 |- ( y = C -> ( ( B R z \/ z R y ) <-> ( B R z \/ z R C ) ) )
9	6, 8	imbi12d 232	. . . 4 |- ( y = C -> ( ( B R y -> ( B R z \/ z R y ) ) <-> ( B R C -> ( B R z \/ z R C ) ) ) )
10	9	imbi2d 228	. . 3 |- ( y = C -> ( ( R Or A -> ( B R y -> ( B R z \/ z R y ) ) ) <-> ( R Or A -> ( B R C -> ( B R z \/ z R C ) ) ) ) )
11		breq2 3789	. . . . . 6 |- ( z = D -> ( B R z <-> B R D ) )
12		breq1 3788	. . . . . 6 |- ( z = D -> ( z R C <-> D R C ) )
13	11, 12	orbi12d 739	. . . . 5 |- ( z = D -> ( ( B R z \/ z R C ) <-> ( B R D \/ D R C ) ) )
14	13	imbi2d 228	. . . 4 |- ( z = D -> ( ( B R C -> ( B R z \/ z R C ) ) <-> ( B R C -> ( B R D \/ D R C ) ) ) )
15	14	imbi2d 228	. . 3 |- ( z = D -> ( ( R Or A -> ( B R C -> ( B R z \/ z R C ) ) ) <-> ( R Or A -> ( B R C -> ( B R D \/ D R C ) ) ) ) )
16		df-iso 4052	. . . . 5 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
17		3anass 923	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) <-> ( x e. A /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) )
18		rsp 2411	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> ( x e. A -> A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
19		rsp2 2413	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
20	18, 19	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> ( x e. A -> ( ( y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) ) )
21	20	impd 251	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> ( ( x e. A /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
22	17, 21	syl5bi 150	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
23	22	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
24	16, 23	sylbi 119	. . . 4 |- ( R Or A -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
25	24	com12 30	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( R Or A -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) )
26	5, 10, 15, 25	vtocl3ga 2668	. 2 |- ( ( B e. A /\ C e. A /\ D e. A ) -> ( R Or A -> ( B R C -> ( B R D \/ D R C ) ) ) )
27	26	impcom 123	1 |- ( ( R Or A /\ ( B e. A /\ C e. A /\ D e. A ) ) -> ( B R C -> ( B R D \/ D R C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 661   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   class class class wbr 3785   Po wpo 4049   Or wor 4050

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-iso 4052

This theorem is referenced by:  sotri2  4742  sotri3  4743  suplub2ti  6414  addextpr  6811  cauappcvgprlemloc  6842  caucvgprlemloc  6865  caucvgprprlemloc  6893  caucvgprprlemaddq  6898  ltsosr  6941  axpre-ltwlin  7049  xrlelttr  8876  xrltletr  8877  xrletr  8878