Theorem ssdomg 6281

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 3917	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2		simpr 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		f1oi 5184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
4		dff1o3 5152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
5	3, 4	mpbi 143	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴))
6	5	simpli 109	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴
7		fof 5126	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴
9		fss 5074	. . . . . . 7 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
10	8, 9	mpan 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
11		funi 4952	. . . . . . . 8 ⊢ Fun I
12		cnvi 4748	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡ I = I
13	12	funeqi 4942	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun ◡ I ↔ Fun I )
14	11, 13	mpbir 144	. . . . . . 7 ⊢ Fun ◡ I
15		funres11 4991	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡ I → Fun ◡( I ↾ 𝐴))
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡( I ↾ 𝐴)
17	10, 16	jctir 306	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
18		df-f1 4927	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
19	17, 18	sylibr 132	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
20	19	adantr 270	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
21		f1dom2g 6259	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	1, 2, 20, 21	syl3anc 1169	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≼ 𝐵)
23	22	expcom 114	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601   ⊆ wss 2973   class class class wbr 3785   I cid 4043  ^◡ccnv 4362   ↾ cres 4365  Fun wfun 4916  ⟶wf 4918  –1-1→wf1 4919  –onto→wfo 4920  –1-1-onto→wf1o 4921   ≼ cdom 6243

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-dom 6246

This theorem is referenced by:  xpdom3m  6331  phplem4dom  6348  nndomo  6350  phpm  6351  domfiexmid  6363