Theorem zltnle 8397

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zltnle	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

Proof of Theorem zltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 8355	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
2		zre 8355	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
3		lenlt 7187	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 284	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
5	4	biimpd 142	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A -> -. A < B ) )
6	5	con2d 586	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> -. B <_ A ) )
7		ztri3or 8394	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
8		ax-1 5	. . . . 5 |- ( A < B -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
10		eqcom 2083	. . . . . . . . 9 |- ( A = B <-> B = A )
11		eqle 7202	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ B = A ) -> B <_ A )
12	10, 11	sylan2b 281	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A = B ) -> B <_ A )
13	12	ex 113	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> ( A = B -> B <_ A ) )
14	13	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. RR ) -> ( A = B -> B <_ A ) )
15	1, 14	sylan2 280	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> B <_ A ) )
16		pm2.24 583	. . . . 5 |- ( B <_ A -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
17	15, 16	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A = B -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
18		ltle 7198	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
19	1, 2, 18	syl2anr 284	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> B <_ A ) )
20	19, 16	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( B < A -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
21	9, 17, 20	3jaod 1235	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> ( -. B <_ A -> A < B ) ) )
22	7, 21	mpd 13	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( -. B <_ A -> A < B ) )
23	6, 22	impbid 127	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ w3o 918   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   RRcr 6980   < clt 7153   <_ cle 7154   ZZcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by:  znnnlt1  8399  nn0n0n1ge2b  8427  eluzdc  8697  fzdcel  9059  fzn  9061  fzpreddisj  9088  fzp1disj  9097  fzneuz  9118  fznuz  9119  uznfz  9120  fzp1nel  9121  difelfznle  9146  fzodisj  9187  exfzdc  9249  modfzo0difsn  9397  fzfig  9422  facdiv  9665  ibcval5  9690  alzdvds  10254  fzm1ndvds  10256  fzo0dvdseq  10257  n2dvds1  10312  dvdsbnd  10348  algcvgblem  10431  prmndvdsfaclt  10535