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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modfzo0difsn | Unicode version | ||
| Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modfzo0difsn |
     ..^  ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  ..^ ![\](setminus.gif "\"){kind=small}     
 ..^    |
, , ,| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | eldifi 3094 |
. . . 4
..^ ..^ | |
| 2 | elfzoelz 9157 |
. . . 4
..^
 | |
| 3 | 1, 2 | syl 14 |
. . 3
..^ |
| 4 | elfzoelz 9157 |
. . 3
..^
| |
| 5 | zdcle 8424 |
. . . 4
DECID  | |
| 6 | exmiddc 777 |
. . . 4
DECID 
 | |
| 7 | 5, 6 | syl 14 |
. . 3
|
| 8 | 3, 4, 7 | syl2anr 284 |
. 2
..^ ..^ |
| 9 | zleloe 8398 |
. . . . . 6
 
| |
| 10 | 3, 4, 9 | syl2anr 284 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 11 | elfzo0 9191 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ 
 | |
| 12 | elfzo0 9191 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
| |
| 13 | nn0cn 8298 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 | |
| 14 | 13 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 15 | 14 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 16 | nn0cn 8298 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 17 | 16 | 3ad2ant1 959 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 18 | 17 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 19 | nncn 8047 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 20 | 19 | 3ad2ant2 960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 21 | 20 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 22 | 15, 18, 21 | subadd23d 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 23 | simpl 107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 24 | nn0z 8371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 25 | nnz 8370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 26 | znnsub 8402 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 27 | 24, 25, 26 | syl2an 283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 28 | 27 | biimp3a 1276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 29 | nn0nnaddcl 8319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 30 | 23, 28, 29 | syl2anr 284 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 31 | 22, 30 | eqeltrd 2155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 32 | 31 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 33 | simp2 939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 34 | 33 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 35 | 34 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 36 | nn0re 8297 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
 | |
| 37 | 36 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 38 | 37 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 39 | nn0re 8297 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 40 | 39 | 3ad2ant1 959 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 41 | 40 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 42 | 38, 41 | sublt0d 7670 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 43 | 42 | bicomd 139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 44 | 43 | biimpa 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | resubcl 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 46 | 37, 40, 45 | syl2anr 284 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 47 | nnre 8046 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 48 | 47 | 3ad2ant2 960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 49 | 48 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 50 | 46, 49 | jca 300 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 51 | 50 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 52 | ltaddnegr 7529 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 53 | 51, 52 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 54 | 44, 53 | mpbid 145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 55 | elfzo1 9199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ | |
| 56 | 32, 35, 54, 55 | syl3anbrc 1122 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 57 | 56 | exp31 356 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 58 | 12, 57 | sylbi 119 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^ |
| 59 | 58 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 60 | 59 | 3adant2 957 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 61 | 11, 60 | sylbi 119 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
..^ |
| 62 | 1, 61 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ ..^ |
| 63 | 62 | impcom 123 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ ..^ |
| 64 | 63 | impcom 123 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
..^ |
| 65 | oveq1 5539 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 2 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 67 | 66 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 68 | 16 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 69 | 68 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 70 | 19 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 71 | 70 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 72 | 67, 69, 71 | 3jca 1118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 73 | 72 | ex 113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 74 | 1, 73 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ |
| 75 | 74 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 76 | 75 | 3adant3 958 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 77 | 12, 76 | sylbi 119 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^
|
| 78 | 77 | imp 122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | 78 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 80 | nppcan 7330 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 81 | 79, 80 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 82 | 65, 81 | sylan9eqr 2135 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ |
| 83 | 82 | oveq1d 5547 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 84 | 83 | eqeq2d 2092 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 85 | 11 | biimpi 118 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 86 | 85 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 87 | 1, 86 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 88 | 87 | impcom 123 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 89 | 88 | adantl 271 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 90 | addmodidr 9375 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 91 | 90 | eqcomd 2086 |
. . . . . . . . . 10
|
| 92 | 89, 91 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 93 | 64, 84, 92 | rspcedvd 2708 |
. . . . . . . 8
..^
..^
..^ |
| 94 | 93 | ex 113 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 95 | eldifsn 3517 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^  | |
| 96 | eqneqall 2255 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ | |
| 97 | 96 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 98 | 97 | adantl 271 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^ |
| 99 | 95, 98 | sylbi 119 |
. . . . . . . . 9
..^
..^ |
| 100 | 99 | adantl 271 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ ..^ |
| 101 | 100 | com12 30 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 102 | 94, 101 | jaoi 668 |
. . . . . 6
..^ ..^ ..^ |
| 103 | 102 | com12 30 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 104 | 10, 103 | sylbid 148 |
. . . 4
..^ ..^ ..^ |
| 105 | 104 | com12 30 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 106 | zltnle 8397 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 107 | 4, 3, 106 | syl2an 283 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 108 | 107 | bicomd 139 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 109 | 24 | 3ad2ant1 959 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 110 | nn0z 8371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 111 | 110 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 112 | znnsub 8402 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 113 | 109, 111, 112 | syl2anr 284 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 113 | biimpa 290 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 33 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | nn0ge0 8313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 118 | 117 | 3ad2ant1 959 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 119 | 118 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 120 | subge02 7582 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 121 | 36, 40, 120 | syl2an 283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 119, 121 | mpbid 145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 123 | 40 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 124 | 36 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 125 | 48 | adantl 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 126 | 123, 124, 125 | 3jca 1118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 127 | 45 | ancoms 264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 128 | 127 | 3adant3 958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 129 | simp2 939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 130 | simp3 940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 131 | 128, 129, 130 | 3jca 1118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 132 | 126, 131 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 133 | lelttr 7199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 134 | 132, 133 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 135 | 122, 134 | mpand 419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 136 | 135 | impancom 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 137 | 136 | imp 122 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 138 | 137 | adantr 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 139 | 114, 116, 138 | 3jca 1118 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 140 | 139 | exp31 356 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 141 | 140 | 3adant2 957 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 142 | 11, 141 | sylbi 119 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 143 | 1, 142 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 144 | 143 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 145 | 12, 144 | sylbi 119 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 146 | 145 | imp 122 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 147 | 108, 146 | sylbid 148 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 148 | 147 | impcom 123 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 149 | elfzo1 9199 |
. . . . . 6
..^ | |
| 150 | 148, 149 | sylibr 132 |
. . . . 5
..^
..^
..^ |
| 151 | oveq1 5539 |
. . . . . . . 8
| |
| 152 | 1, 66 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 153 | 4 | zcnd 8470 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 154 | npcan 7317 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 155 | 152, 153, 154 | syl2anr 284 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 156 | 155 | adantl 271 |
. . . . . . . 8
..^
..^
|
| 157 | 151, 156 | sylan9eqr 2135 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 158 | 157 | oveq1d 5547 |
. . . . . 6
..^ ..^
|
| 159 | 158 | eqeq2d 2092 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 160 | zmodidfzoimp 9356 |
. . . . . . . . 9
..^
| |
| 161 | 1, 160 | syl 14 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 162 | 161 | adantl 271 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 163 | 162 | adantl 271 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 164 | 163 | eqcomd 2086 |
. . . . 5
..^
..^
|
| 165 | 150, 159, 164 | rspcedvd 2708 |
. . . 4
..^
..^
..^ |
| 166 | 165 | ex 113 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 167 | 105, 166 | jaoi 668 |
. 2
..^ ..^
..^ |
| 168 | 8, 167 | mpcom 36 |
1
..^ ..^
..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 102
wb 103 wo 661 DECID wdc 775
w3a 919
wceq 1284
wcel 1433
wne 2245
wrex 2349
cdif 2970
csn 3398
class class class wbr 3785 (class class class)co 5532
cc 6979
cr 6980
cc0 6981
c1 6982
caddc 6984 clt 7153 cle 7154 cmin 7279 cn 8039 cn0 8288 cz 8351 ..^cfzo 9152
cmo 9324 |
| This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-sep 3896 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-cnex 7067 ax-resscn 7068 ax-1cn 7069 ax-1re 7070 ax-icn 7071 ax-addcl 7072 ax-addrcl 7073 ax-mulcl 7074 ax-mulrcl 7075 ax-addcom 7076 ax-mulcom 7077 ax-addass 7078 ax-mulass 7079 ax-distr 7080 ax-i2m1 7081 ax-0lt1 7082 ax-1rid 7083 ax-0id 7084 ax-rnegex 7085 ax-precex 7086 ax-cnre 7087 ax-pre-ltirr 7088 ax-pre-ltwlin 7089 ax-pre-lttrn 7090 ax-pre-apti 7091 ax-pre-ltadd 7092 ax-pre-mulgt0 7093 ax-pre-mulext 7094 ax-arch 7095 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 776 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-nel 2340 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rmo 2356 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-id 4048 df-po 4051 df-iso 4052 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-fv 4930 df-riota 5488 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-pnf 7155 df-mnf 7156 df-xr 7157 df-ltxr 7158 df-le 7159 df-sub 7281 df-neg 7282 df-reap 7675 df-ap 7682 df-div 7761 df-inn 8040 df-n0 8289 df-z 8352 df-uz 8620 df-q 8705 df-rp 8735 df-ico 8917 df-fz 9030 df-fzo 9153 df-fl 9274 df-mod 9325 |
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