Theorem 1lt2nq 6596

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2nq	⊢ 1Q <Q (1Q +Q 1Q)

Proof of Theorem 1lt2nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2pi 6530	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 <N (1𝑜 +N 1𝑜)
2		1pi 6505	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ N
3		mulidpi 6508	. . . . . 6 ⊢ (1𝑜 ∈ N → (1𝑜 ·N 1𝑜) = 1𝑜)
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ·N 1𝑜) = 1𝑜
5	4, 4	oveq12i 5544	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) = (1𝑜 +N 1𝑜)
6	1, 4, 5	3brtr4i 3813	. . . 4 ⊢ (1𝑜 ·N 1𝑜) <N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜))
7		mulclpi 6518	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → (1𝑜 ·N 1𝑜) ∈ N)
8	2, 2, 7	mp2an 416	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ·N 1𝑜) ∈ N
9		addclpi 6517	. . . . . 6 ⊢ (((1𝑜 ·N 1𝑜) ∈ N ∧ (1𝑜 ·N 1𝑜) ∈ N) → ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) ∈ N)
10	8, 8, 9	mp2an 416	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) ∈ N
11		ltmpig 6529	. . . . 5 ⊢ (((1𝑜 ·N 1𝑜) ∈ N ∧ ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → ((1𝑜 ·N 1𝑜) <N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) ↔ (1𝑜 ·N (1𝑜 ·N 1𝑜)) <N (1𝑜 ·N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)))))
12	8, 10, 2, 11	mp3an 1268	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ·N 1𝑜) <N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) ↔ (1𝑜 ·N (1𝑜 ·N 1𝑜)) <N (1𝑜 ·N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜))))
13	6, 12	mpbi 143	. . 3 ⊢ (1𝑜 ·N (1𝑜 ·N 1𝑜)) <N (1𝑜 ·N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)))
14		ordpipqqs 6564	. . . 4 ⊢ (((1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) ∧ (((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) ∈ N ∧ (1𝑜 ·N 1𝑜) ∈ N)) → ([⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q ↔ (1𝑜 ·N (1𝑜 ·N 1𝑜)) <N (1𝑜 ·N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)))))
15	2, 2, 10, 8, 14	mp4an 417	. . 3 ⊢ ([⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q ↔ (1𝑜 ·N (1𝑜 ·N 1𝑜)) <N (1𝑜 ·N ((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜))))
16	13, 15	mpbir 144	. 2 ⊢ [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q <Q [⟨((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q
17		df-1nqqs 6541	. 2 ⊢ 1Q = [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q
18	17, 17	oveq12i 5544	. . 3 ⊢ (1Q +Q 1Q) = ([⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q +Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q )
19		addpipqqs 6560	. . . 4 ⊢ (((1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) ∧ (1𝑜 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N)) → ([⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q +Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q )
20	2, 2, 2, 2, 19	mp4an 417	. . 3 ⊢ ([⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q +Q [⟨1𝑜, 1𝑜⟩] ~Q ) = [⟨((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q
21	18, 20	eqtri 2101	. 2 ⊢ (1Q +Q 1Q) = [⟨((1𝑜 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩] ~Q
22	16, 17, 21	3brtr4i 3813	1 ⊢ 1Q <Q (1Q +Q 1Q)

Syntax hints:   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ⟨cop 3401   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  1_𝑜c1o 6017  [cec 6127  Ncnpi 6462   +_N cpli 6463   ·_N cmi 6464   <_N clti 6465   ~_Q ceq 6469  1_Qc1q 6471   +_Q cplq 6472   <_Q cltq 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-1nqqs 6541  df-ltnqqs 6543

This theorem is referenced by:  ltaddnq  6597