Theorem mulclpi 6518

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem mulclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 6507	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
2		pinn 6499	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
3		pinn 6499	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
4		nnmcl 6083	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω)
5	2, 3, 4	syl2an 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω)
6		elni2 6504	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
7	6	simprbi 269	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ N → ∅ ∈ 𝐵)
8	7	adantl 271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ∅ ∈ 𝐵)
9	3	adantl 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐵 ∈ ω)
10	2	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐴 ∈ ω)
11		elni2 6504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
12	11	simprbi 269	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ N → ∅ ∈ 𝐴)
13	12	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ∅ ∈ 𝐴)
14		nnmordi 6112	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
15	9, 10, 13, 14	syl21anc 1168	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
16	8, 15	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵))
17		ne0i 3257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ≠ ∅)
18	16, 17	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ≠ ∅)
19		elni 6498	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ≠ ∅))
20	5, 18, 19	sylanbrc 408	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ N)
21	1, 20	eqeltrd 2155	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245  ∅c0 3251  ωcom 4331  (class class class)co 5532   ·_𝑜 comu 6022  Ncnpi 6462   ·_N cmi 6464

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-ni 6494  df-mi 6496

This theorem is referenced by:  mulasspig  6522  distrpig  6523  ltmpig  6529  enqer  6548  enqdc  6551  addcmpblnq  6557  mulcmpblnq  6558  addpipqqslem  6559  mulpipq2  6561  mulpipqqs  6563  ordpipqqs  6564  addclnq  6565  mulclnq  6566  addcomnqg  6571  addassnqg  6572  mulassnqg  6574  mulcanenq  6575  distrnqg  6577  recexnq  6580  nqtri3or  6586  ltdcnq  6587  ltsonq  6588  ltanqg  6590  ltmnqg  6591  1lt2nq  6596  ltexnqq  6598  archnqq  6607  addcmpblnq0  6633  mulcmpblnq0  6634  mulcanenq0ec  6635  addclnq0  6641  mulclnq0  6642  nqpnq0nq  6643  nqnq0a  6644  nqnq0m  6645  nq0m0r  6646  distrnq0  6649  addassnq0lemcl  6651