Theorem clim2 10122

Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence 𝐹 is 𝐴, or 𝐹 converges to 𝐴, with more general quantifier restrictions than clim 10120. (Contributed by NM, 6-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
clim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
clim2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
clim2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem clim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		eqidd 2082	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
3	1, 2	clim 10120	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
4		clim2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	uztrn2 8636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
6		clim2.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
7	6	eleq1d 2147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
8	6	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
9	8	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
10	9	breq1d 3795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))
11	7, 10	anbi12d 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
12	5, 11	sylan2 280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
13	12	anassrs 392	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
14	13	ralbidva 2364	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
15	14	rexbidva 2365	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
16		clim2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
17	4	rexuz3 9876	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
19	15, 18	bitr3d 188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
20	19	ralbidv 2368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
21	20	anbi2d 451	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
22	3, 21	bitr4d 189	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  ∃wrex 2349   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℂcc 6979   < clt 7153   − cmin 7279  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619  ℝ⁺crp 8734  abscabs 9883   ⇝ cli 10117

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-clim 10118

This theorem is referenced by:  clim2c  10123  clim0  10124  climi  10126  climeq  10138