Theorem climshft 10143

Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climshft	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climshft

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5539	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 shift 𝑀) = (𝐹 shift 𝑀))
2	1	breq1d 3795	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
3		breq1 3788	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
4	2, 3	bibi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴) ↔ ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴)))
5	4	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))))
6		znegcl 8382	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
7		vex 2604	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
8		zcn 8356	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
9		ovshftex 9707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑓 shift 𝑀) ∈ V)
10	7, 8, 9	sylancr 405	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑓 shift 𝑀) ∈ V)
11		climshftlemg 10141	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑓 shift 𝑀) ∈ V) → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
12	6, 10, 11	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
13		eqid 2081	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
14	8	negcld 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℂ)
15		ovshftex 9707	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 shift 𝑀) ∈ V ∧ -𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ∈ V)
16	10, 14, 15	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ∈ V)
17	7	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑓 ∈ V)
18		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
19		eluzelcn 8630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
20	7	shftcan1 9722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
21	8, 19, 20	syl2an 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
22	13, 16, 17, 18, 21	climeq 10138	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴))
23	12, 22	sylibd 147	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → 𝑓 ⇝ 𝐴))
24		climshftlemg 10141	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑓 ∈ V) → (𝑓 ⇝ 𝐴 → (𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
25	7, 24	mpan2 415	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑓 ⇝ 𝐴 → (𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
26	23, 25	impbid 127	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴))
27	5, 26	vtoclg 2658	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴)))
28	27	impcom 123	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  -cneg 7280  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619   shift cshi 9702   ⇝ cli 10117

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-shft 9703  df-clim 10118

This theorem is referenced by:  climshft2  10145