Theorem cru 7702

Description: The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cru	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem cru

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrl 501	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	recnd 7147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		simplll 499	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 7147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simpr 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
6		ax-icn 7071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → i ∈ ℂ)
8		simpllr 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	recnd 7147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 7139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
11		simplrr 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ)
12	11	recnd 7147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℂ)
13	7, 12	mulcld 7139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
14	4, 10, 2, 13	addsubeq4d 7470	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐶 − 𝐴) = ((i · 𝐵) − (i · 𝐷))))
15	5, 14	mpbid 145	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐶 − 𝐴) = ((i · 𝐵) − (i · 𝐷)))
16	8, 11	resubcld 7485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ)
17	7, 9, 12	subdid 7518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · (𝐵 − 𝐷)) = ((i · 𝐵) − (i · 𝐷)))
18	17, 15	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · (𝐵 − 𝐷)) = (𝐶 − 𝐴))
19	1, 3	resubcld 7485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	eqeltrd 2155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
21		rimul 7685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐷) = 0)
22	16, 20, 21	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐵 − 𝐷) = 0)
23	9, 12, 22	subeq0d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐵 = 𝐷)
24	23	oveq2d 5548	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · 𝐵) = (i · 𝐷))
25	24	oveq1d 5547	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → ((i · 𝐵) − (i · 𝐷)) = ((i · 𝐷) − (i · 𝐷)))
26	13	subidd 7407	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → ((i · 𝐷) − (i · 𝐷)) = 0)
27	15, 25, 26	3eqtrd 2117	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐶 − 𝐴) = 0)
28	2, 4, 27	subeq0d 7427	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐶 = 𝐴)
29	28	eqcomd 2086	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐴 = 𝐶)
30	29, 23	jca 300	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
31	30	ex 113	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
32		oveq2 5540	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → (i · 𝐵) = (i · 𝐷))
33		oveq12 5541	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ (i · 𝐵) = (i · 𝐷)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
34	32, 33	sylan2 280	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
35	31, 34	impbid1 140	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  ℝcr 6980  0cc0 6981  ici 6983   + caddc 6984   · cmul 6986   − cmin 7279

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-ltxr 7158  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675

This theorem is referenced by:  apreim  7703  apti  7722  creur  8036  creui  8037  cnref1o  8733