Theorem eldif 2982

Description: Expansion of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eldif	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem eldif

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2610	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2610	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantr 270	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
4		eleq1 2141	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
5		eleq1 2141	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
6	5	notbid 624	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))
7	4, 6	anbi12d 456	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)))
8		df-dif 2975	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐶) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)}
9	7, 8	elab2g 2740	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶)))
10	1, 3, 9	pm5.21nii 652	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601   ∖ cdif 2970

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-dif 2975

This theorem is referenced by:  eldifd  2983  eldifad  2984  eldifbd  2985  difeqri  3092  eldifi  3094  eldifn  3095  difdif  3097  ddifstab  3104  ssconb  3105  sscon  3106  ssdif  3107  raldifb  3112  ssddif  3198  unssdif  3199  inssdif  3200  difin  3201  unssin  3203  inssun  3204  invdif  3206  indif  3207  difundi  3216  difindiss  3218  indifdir  3220  undif3ss  3225  difin2  3226  symdifxor  3230  dfnul2  3253  reldisj  3295  disj3  3296  undif4  3306  ssdif0im  3308  inssdif0im  3311  ssundifim  3326  eldifsn  3517  difprsnss  3524  iundif2ss  3743  iindif2m  3745  brdif  3833  unidif0  3941  eldifpw  4226  elirr  4284  en2lp  4297  difopab  4487  intirr  4731  cnvdif  4750  imadiflem  4998  imadif  4999  xrlenlt  7177  nzadd  8403  irradd  8731  irrmul  8732  fzdifsuc  9098