Theorem en2sn 6313

Description: Two singletons are equinumerous. (Contributed by NM, 9-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
en2sn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Proof of Theorem en2sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 6300	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
2		ensn1g 6300	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → {𝐵} ≈ 1𝑜)
3	2	ensymd 6286	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 1𝑜 ≈ {𝐵})
4		entr 6287	. 2 ⊢ (({𝐴} ≈ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ≈ {𝐵}) → {𝐴} ≈ {𝐵})
5	1, 3, 4	syl2an 283	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → {𝐴} ≈ {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1433  {csn 3398   class class class wbr 3785  1_𝑜c1o 6017   ≈ cen 6242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-suc 4126  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-1o 6024  df-er 6129  df-en 6245

This theorem is referenced by:  fiunsnnn  6365  unsnfi  6384  frecfzennn  9419