Theorem fldivndvdslt 10335

Description: The floor of an integer divided by a nonzero integer not dividing the first integer is less than the integer divided by the positive integer. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldivndvdslt	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿 ∥ 𝐾) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝐾 / 𝐿))

Proof of Theorem fldivndvdslt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 8711	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
2	1	3ad2ant1 959	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿 ∥ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℚ)
3		zq 8711	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℚ)
4	3	adantr 270	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) → 𝐿 ∈ ℚ)
5	4	3ad2ant2 960	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿 ∥ 𝐾) → 𝐿 ∈ ℚ)
6		simp2r 965	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿 ∥ 𝐾) → 𝐿 ≠ 0)
7		qdivcl 8728	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 𝐿 ∈ ℚ ∧ 𝐿 ≠ 0) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℚ)
8	2, 5, 6, 7	syl3anc 1169	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿 ∥ 𝐾) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℚ)
9		simprl 497	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → 𝐿 ∈ ℤ)
10		simprr 498	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → 𝐿 ≠ 0)
11		simpl 107	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → 𝐾 ∈ ℤ)
12		dvdsval2 10198	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐿 ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℤ))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1169	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → (𝐿 ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℤ))
14	13	notbid 624	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0)) → (¬ 𝐿 ∥ 𝐾 ↔ ¬ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℤ))
15	14	biimp3a 1276	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿 ∥ 𝐾) → ¬ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℤ)
16		flqltnz 9289	. 2 ⊢ (((𝐾 / 𝐿) ∈ ℚ ∧ ¬ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝐾 / 𝐿))
17	8, 15, 16	syl2anc 403	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≠ 0) ∧ ¬ 𝐿 ∥ 𝐾) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝐾 / 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 919   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  0cc0 6981   < clt 7153   / cdiv 7760  ℤcz 8351  ℚcq 8704  ⌊cfl 9272   ∥ cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-q 8705  df-rp 8735  df-fl 9274  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  flodddiv4lt  10336