Theorem fzo0to42pr 9229

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 8305	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 8307	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 8109	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 8116	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 8205	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 7213	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 9128	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1120	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 9186	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 7	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 9227	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 8381	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 9158	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4cn 8117	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		ax-1cn 7069	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		3cn 8114	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		df-4 8100	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	17, 16	addcomi 7252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
20	18, 19	eqtri 2101	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (1 + 3)
21	20	eqcomi 2085	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
22	15, 16, 17, 21	subaddrii 7397	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
23		df-3 8099	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
24	22, 23	eqtri 2101	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
25	24	oveq2i 5543	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26		2z 8379	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzpr 9094	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
29	25, 28	eqtri 2101	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
30	23	eqcomi 2085	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
31	30	preq2i 3473	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
32	14, 29, 31	3eqtri 2105	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
33	11, 32	uneq12i 3124	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
34	10, 33	eqtri 2101	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ∪ cun 2971  {cpr 3399   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   ≤ cle 7154   − cmin 7279  2c2 8089  3c3 8090  4c4 8091  ℕ₀cn0 8288  ℤcz 8351  ...cfz 9029  ..^cfzo 9152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-fzo 9153

This theorem is referenced by: (None)