Theorem iseqf 9444

Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iseqf.ex	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
iseqf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iseqf.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iseqf	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):𝑍⟶𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem iseqf

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		iseqf.ex	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3		iseqf.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	3	eleq2i 2145	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		iseqf.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6	4, 5	sylan2br 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
7		iseqf.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
8	1, 2, 6, 7	iseqfn 9441	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ≥‘𝑀))
9		simpr 108	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10	2	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑆 ∈ 𝑉)
11	6	adantlr 460	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
12	7	adantlr 460	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
13	9, 10, 11, 12	iseqcl 9443	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) ∈ 𝑆)
14	13	ralrimiva 2434	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) ∈ 𝑆)
15		ffnfv 5344	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑘) ∈ 𝑆))
16	8, 14, 15	sylanbrc 408	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
17	3	feq2i 5060	. 2 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):𝑍⟶𝑆 ↔ seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
18	16, 17	sylibr 132	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):𝑍⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348   Fn wfn 4917  ⟶wf 4918  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619  seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432

This theorem is referenced by:  iserf  9453  iserfre  9454  resqrexlemf  9893  ialgrf  10427