Theorem iseqid3 9465

Description: A sequence that consists entirely of zeroes (or whatever the identity 𝑍 is for operation +) sums to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqid3.1	⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
iseqid3.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqid3.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
iseqid3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
iseqid3	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iseqid3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqid3.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		iseqid3.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
3		snexg 3956	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → {𝑍} ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ∈ V)
5		iseqid3.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
6		elsn2g 3427	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
7	2, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
8	7	adantr 270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
9	5, 8	mpbird 165	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ {𝑍})
10		iseqid3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
11		elsn2g 3427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
12	2, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
13	10, 12	mpbird 165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍})
14		elsni 3416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑍} → 𝑥 = 𝑍)
15		elsni 3416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑍} → 𝑦 = 𝑍)
16	14, 15	oveqan12d 5551	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑍 + 𝑍))
17	16	eleq1d 2147	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍}))
18	13, 17	syl5ibrcom 155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍}))
19	18	imp 122	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍})) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍})
20	1, 4, 9, 19	iseqcl 9443	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) ∈ {𝑍})
21		elsni 3416	. 2 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) ∈ {𝑍} → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) = 𝑍)
22	20, 21	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601  {csn 3398  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℤ_≥cuz 8619  seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432

This theorem is referenced by: (None)