Theorem mulcanpig 6525

Description: Multiplication cancellation law for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanpig	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem mulcanpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 6507	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
2	1	adantr 270	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
3		mulpiord 6507	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐶) = (𝐴 ·𝑜 𝐶))
4	3	adantlr 460	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐶) = (𝐴 ·𝑜 𝐶))
5	2, 4	eqeq12d 2095	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶) ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
6		pinn 6499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
7		pinn 6499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
8		pinn 6499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
9		elni2 6504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
10	9	simprbi 269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ N → ∅ ∈ 𝐴)
11		nnmcan 6115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
12	11	biimpd 142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
13	10, 12	sylan2 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ 𝐴 ∈ N) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
14	13	ex 113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ∈ N → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))
15	6, 7, 8, 14	syl3an 1211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ∈ N → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))
16	15	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐵 ∈ N → (𝐶 ∈ N → (𝐴 ∈ N → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))))
17	16	com4r 85	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ N → (𝐵 ∈ N → (𝐶 ∈ N → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))))
18	17	pm2.43i 48	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐵 ∈ N → (𝐶 ∈ N → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))))
19	18	imp31 252	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
20	5, 19	sylbid 148	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
21	20	3impa 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
22		oveq2 5540	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶))
23	21, 22	impbid1 140	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∅c0 3251  ωcom 4331  (class class class)co 5532   ·_𝑜 comu 6022  Ncnpi 6462   ·_N cmi 6464

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-ni 6494  df-mi 6496

This theorem is referenced by:  enqer  6548