Theorem mulpiord 6507

Description: Positive integer multiplication in terms of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulpiord	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))

Proof of Theorem mulpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4394	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N))
2		fvres 5219	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → (( ·𝑜 ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ( ·𝑜 ‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3		df-ov 5535	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·N 𝐵) = ( ·N ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		df-mi 6496	. . . . 5 ⊢ ·N = ( ·𝑜 ↾ (N × N))
5	4	fveq1i 5199	. . . 4 ⊢ ( ·N ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (( ·𝑜 ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
6	3, 5	eqtri 2101	. . 3 ⊢ (𝐴 ·N 𝐵) = (( ·𝑜 ↾ (N × N))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
7		df-ov 5535	. . 3 ⊢ (𝐴 ·𝑜 𝐵) = ( ·𝑜 ‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2138	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (N × N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
9	1, 8	syl 14	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ⟨cop 3401   × cxp 4361   ↾ cres 4365  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532   ·_𝑜 comu 6022  Ncnpi 6462   ·_N cmi 6464

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-res 4375  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535  df-mi 6496

This theorem is referenced by:  mulidpi  6508  mulclpi  6518  mulcompig  6521  mulasspig  6522  distrpig  6523  mulcanpig  6525  ltmpig  6529  archnqq  6607  enq0enq  6621  addcmpblnq0  6633  mulcmpblnq0  6634  mulcanenq0ec  6635  addclnq0  6641  mulclnq0  6642  nqpnq0nq  6643  nqnq0a  6644  nqnq0m  6645  nq0m0r  6646  distrnq0  6649  addassnq0lemcl  6651