Theorem funi 4952

Description: The identity relation is a function. Part of Theorem 10.4 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funi	⊢ Fun I

Proof of Theorem funi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 4483	. 2 ⊢ Rel I
2		relcnv 4723	. . . . 5 ⊢ Rel ◡ I
3		coi2 4857	. . . . 5 ⊢ (Rel ◡ I → ( I ∘ ◡ I ) = ◡ I )
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) = ◡ I
5		cnvi 4748	. . . 4 ⊢ ◡ I = I
6	4, 5	eqtri 2101	. . 3 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) = I
7	6	eqimssi 3053	. 2 ⊢ ( I ∘ ◡ I ) ⊆ I
8		df-fun 4924	. 2 ⊢ (Fun I ↔ (Rel I ∧ ( I ∘ ◡ I ) ⊆ I ))
9	1, 7, 8	mpbir2an 883	1 ⊢ Fun I

Syntax hints:   = wceq 1284   ⊆ wss 2973   I cid 4043  ^◡ccnv 4362   ∘ ccom 4367  Rel wrel 4368  Fun wfun 4916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-fun 4924

This theorem is referenced by:  cnvresid  4993  fnresi  5036  fvi  5251  ssdomg  6281  climshft2  10145