Theorem zeo3 10267

Description: An integer is even or odd. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zeo3	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem zeo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 8389	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2		zeo 8452	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
4		zeo2 8453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ))
6		zcn 8356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		1cnd 7135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
8	6, 7	npcand 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
9	8	oveq1d 5547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
10	9	eleq1d 2147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
11		2z 8379	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		2ne0 8131	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
13		dvdsval2 10198	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
14	11, 12, 13	mp3an12 1258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
15	10, 14	bitr4d 189	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ 2 ∥ 𝑁))
16	15	notbid 624	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
17	5, 16	bitrd 186	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
18	17, 15	orbi12d 739	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∨ (((𝑁 − 1) + 1) / 2) ∈ ℤ) ↔ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∨ 2 ∥ 𝑁)))
19	3, 18	mpbid 145	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ∨ 2 ∥ 𝑁))
20	19	orcomd 680	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 103   ∨ wo 661   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   − cmin 7279   / cdiv 7760  2c2 8089  ℤcz 8351   ∥ cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  zeoxor  10268  zeo5  10288  m1exp1  10301  flodddiv4  10334