Theorem 2f1fvneq 6517

Description: If two one-to-one functions are applied on different arguments, also the values are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2f1fvneq	|- ( ( ( E : D -1-1-> R /\ F : C -1-1-> D ) /\ ( A e. C /\ B e. C ) /\ A =/= B ) -> ( ( ( E ` ( F ` A ) ) = X /\ ( E ` ( F ` B ) ) = Y ) -> X =/= Y ) )

Proof of Theorem 2f1fvneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 6514	. . . . 5 |- ( ( F : C -1-1-> D /\ ( A e. C /\ B e. C ) ) -> ( ( F ` A ) = ( F ` B ) -> A = B ) )
2	1	adantll 750	. . . 4 |- ( ( ( E : D -1-1-> R /\ F : C -1-1-> D ) /\ ( A e. C /\ B e. C ) ) -> ( ( F ` A ) = ( F ` B ) -> A = B ) )
3	2	necon3ad 2807	. . 3 |- ( ( ( E : D -1-1-> R /\ F : C -1-1-> D ) /\ ( A e. C /\ B e. C ) ) -> ( A =/= B -> -. ( F ` A ) = ( F ` B ) ) )
4	3	3impia 1261	. 2 |- ( ( ( E : D -1-1-> R /\ F : C -1-1-> D ) /\ ( A e. C /\ B e. C ) /\ A =/= B ) -> -. ( F ` A ) = ( F ` B ) )
5		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( E : D -1-1-> R /\ F : C -1-1-> D ) /\ ( A e. C /\ B e. C ) ) -> E : D -1-1-> R )
6		f1f 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( F : C -1-1-> D -> F : C --> D )
7		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : C --> D /\ A e. C ) -> ( F ` A ) e. D )
8		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : C --> D /\ B e. C ) -> ( F ` B ) e. D )
9	7, 8	anim12dan 882	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : C --> D /\ ( A e. C /\ B e. C ) ) -> ( ( F ` A ) e. D /\ ( F ` B ) e. D ) )
10	9	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( F : C --> D -> ( ( A e. C /\ B e. C ) -> ( ( F ` A ) e. D /\ ( F ` B ) e. D ) ) )
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( F : C -1-1-> D -> ( ( A e. C /\ B e. C ) -> ( ( F ` A ) e. D /\ ( F ` B ) e. D ) ) )
12	11	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( E : D -1-1-> R /\ F : C -1-1-> D ) -> ( ( A e. C /\ B e. C ) -> ( ( F ` A ) e. D /\ ( F ` B ) e. D ) ) )
13	12	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( E : D -1-1-> R /\ F : C -1-1-> D ) /\ ( A e. C /\ B e. C ) ) -> ( ( F ` A ) e. D /\ ( F ` B ) e. D ) )
14		f1veqaeq 6514	. . . . . . 7 |- ( ( E : D -1-1-> R /\ ( ( F ` A ) e. D /\ ( F ` B ) e. D ) ) -> ( ( E ` ( F ` A ) ) = ( E ` ( F ` B ) ) -> ( F ` A ) = ( F ` B ) ) )
15	5, 13, 14	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( E : D -1-1-> R /\ F : C -1-1-> D ) /\ ( A e. C /\ B e. C ) ) -> ( ( E ` ( F ` A ) ) = ( E ` ( F ` B ) ) -> ( F ` A ) = ( F ` B ) ) )
16	15	con3dimp 457	. . . . 5 |- ( ( ( ( E : D -1-1-> R /\ F : C -1-1-> D ) /\ ( A e. C /\ B e. C ) ) /\ -. ( F ` A ) = ( F ` B ) ) -> -. ( E ` ( F ` A ) ) = ( E ` ( F ` B ) ) )
17		eqeq12 2635	. . . . . . 7 |- ( ( ( E ` ( F ` A ) ) = X /\ ( E ` ( F ` B ) ) = Y ) -> ( ( E ` ( F ` A ) ) = ( E ` ( F ` B ) ) <-> X = Y ) )
18	17	notbid 308	. . . . . 6 |- ( ( ( E ` ( F ` A ) ) = X /\ ( E ` ( F ` B ) ) = Y ) -> ( -. ( E ` ( F ` A ) ) = ( E ` ( F ` B ) ) <-> -. X = Y ) )
19		df-ne 2795	. . . . . . 7 |- ( X =/= Y <-> -. X = Y )
20	19	biimpri 218	. . . . . 6 |- ( -. X = Y -> X =/= Y )
21	18, 20	syl6bi 243	. . . . 5 |- ( ( ( E ` ( F ` A ) ) = X /\ ( E ` ( F ` B ) ) = Y ) -> ( -. ( E ` ( F ` A ) ) = ( E ` ( F ` B ) ) -> X =/= Y ) )
22	16, 21	syl5com 31	. . . 4 |- ( ( ( ( E : D -1-1-> R /\ F : C -1-1-> D ) /\ ( A e. C /\ B e. C ) ) /\ -. ( F ` A ) = ( F ` B ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` A ) ) = X /\ ( E ` ( F ` B ) ) = Y ) -> X =/= Y ) )
23	22	ex 450	. . 3 |- ( ( ( E : D -1-1-> R /\ F : C -1-1-> D ) /\ ( A e. C /\ B e. C ) ) -> ( -. ( F ` A ) = ( F ` B ) -> ( ( ( E ` ( F ` A ) ) = X /\ ( E ` ( F ` B ) ) = Y ) -> X =/= Y ) ) )
24	23	3adant3 1081	. 2 |- ( ( ( E : D -1-1-> R /\ F : C -1-1-> D ) /\ ( A e. C /\ B e. C ) /\ A =/= B ) -> ( -. ( F ` A ) = ( F ` B ) -> ( ( ( E ` ( F ` A ) ) = X /\ ( E ` ( F ` B ) ) = Y ) -> X =/= Y ) ) )
25	4, 24	mpd 15	1 |- ( ( ( E : D -1-1-> R /\ F : C -1-1-> D ) /\ ( A e. C /\ B e. C ) /\ A =/= B ) -> ( ( ( E ` ( F ` A ) ) = X /\ ( E ` ( F ` B ) ) = Y ) -> X =/= Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  usgr2pthlem  26659