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Theorem usgr2pthlem 26659
Description: Lemma for usgr2pth 26660. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jan-2018.) (Revised by AV, 5-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
usgr2pthlem.v |- V = (Vtx ` G )
usgr2pthlem.i |- I = (iEdg ` G )
Assertion
Ref Expression
usgr2pthlem |- ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
Distinct variable groups:   i, F   x, F, y, z   x, G, y, z   i, I   x, I, y, z   P, i   x, P, y, z   x, V, y, z
Allowed substitution hints:   G( i)   V( i)
Proof of Theorem usgr2pthlem
StepHypRef Expression
1 0nn0 11307 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
2 2nn0 11309 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN0
3 0le2 11111 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
4 elfz2nn0 12431 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ( 0 ... 2 ) <-> ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 0 <_ 2 ) )
51, 2, 3, 4mpbir3an 1244 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( 0 ... 2 )
6 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ 0 e. ( 0 ... 2 ) ) -> ( P ` 0 ) e. V )
75, 6mpan2 707 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( P ` 0 ) e. V )
87adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 0 ) e. V )
9 1nn0 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. NN0
10 1le2 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 <_ 2
11 elfz2nn0 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 e. ( 0 ... 2 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 1 <_ 2 ) )
129, 2, 10, 11mpbir3an 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. ( 0 ... 2 )
13 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ 1 e. ( 0 ... 2 ) ) -> ( P ` 1 ) e. V )
1412, 13mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( P ` 1 ) e. V )
1514adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. V )
16 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) -> G e. USGraph )
17 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P ` 1 ) e. _V
1816, 17jctir 561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) -> ( G e. USGraph /\ ( P ` 1 ) e. _V ) )
19 prcom 4267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) }
2019eqeq2i 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } <-> ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
2120biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
2322ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) -> ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
24 usgr2pthlem.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- I = (iEdg ` G )
2524usgrnloopv 26092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. USGraph /\ ( P ` 1 ) e. _V ) -> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) ) )
2618, 23, 25sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) )
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) )
2817elsn 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P ` 1 ) e. { ( P ` 0 ) } <-> ( P ` 1 ) = ( P ` 0 ) )
2928necon3bbii 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( P ` 1 ) e. { ( P ` 0 ) } <-> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) )
3027, 29sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> -. ( P ` 1 ) e. { ( P ` 0 ) } )
3115, 30eldifd 3585 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) )
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) )
33 sneq 4187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( P ` 0 ) -> { x } = { ( P ` 0 ) } )
3433difeq2d 3728 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( V \ { x } ) = ( V \ { ( P ` 0 ) } ) )
3534eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( ( P ` 1 ) e. ( V \ { x } ) <-> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) ) )
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( ( P ` 1 ) e. ( V \ { x } ) <-> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) ) )
3732, 36mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( P ` 1 ) e. ( V \ { x } ) )
38 2re 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
3938leidi 10562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 <_ 2
40 elfz2nn0 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. ( 0 ... 2 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 2 <_ 2 ) )
412, 2, 39, 40mpbir3an 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ( 0 ... 2 )
42 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ 2 e. ( 0 ... 2 ) ) -> ( P ` 2 ) e. V )
4341, 42mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( P ` 2 ) e. V )
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. V )
4524usgrf1 26067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( G e. USGraph -> I : dom I -1-1-> ran I )
4645ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> I : dom I -1-1-> ran I )
47 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I )
4847ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I )
4946, 48jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( I : dom I -1-1-> ran I /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) )
50 2nn 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. NN
51 lbfzo0 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) <-> 2 e. NN )
5250, 51mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. ( 0..^ 2 )
53 1lt2 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 < 2
54 elfzo0 12508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 e. ( 0..^ 2 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) )
559, 50, 53, 54mpbir3an 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. ( 0..^ 2 )
5652, 55pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) )
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) )
58 0ne1 11088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 =/= 1
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> 0 =/= 1 )
6049, 57, 593jca 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( I : dom I -1-1-> ran I /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) /\ 0 =/= 1 ) )
61 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
6261ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
63 2f1fvneq 6517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( I : dom I -1-1-> ran I /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
6460, 62, 63sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } )
65 necom 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) <-> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) )
66 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P ` 0 ) e. _V
67 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P ` 2 ) e. _V
6866, 17, 673pm3.2i 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V )
69 fvexd 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) -> ( P ` 0 ) e. _V )
70 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
7170ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) -> ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
7216, 69, 71jca31 557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( P ` 0 ) e. _V ) /\ ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
7372adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( P ` 0 ) e. _V ) /\ ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
7424usgrnloopv 26092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( G e. USGraph /\ ( P ` 0 ) e. _V ) -> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
7574imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( P ` 0 ) e. _V ) /\ ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
7673, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
77 pr1nebg 4391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
7868, 76, 77sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
7965, 78syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
8064, 79mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) )
81 fvexd 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) -> ( P ` 2 ) e. _V )
82 prcom 4267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) }
8382eqeq2i 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } <-> ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
8483biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
8584adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
8685ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) -> ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
8716, 81, 86jca31 557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } ) )
8887adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } ) )
8924usgrnloopv 26092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. USGraph /\ ( P ` 2 ) e. _V ) -> ( ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
9089imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( G e. USGraph /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 1 ) )
9188, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 1 ) )
9280, 91nelprd 4203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> -. ( P ` 2 ) e. { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
9344, 92eldifd 3585 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
9493ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
95 preq12 4270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> { x , y } = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
9695difeq2d 3728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( V \ { x , y } ) = ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
9796eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 2 ) e. ( V \ { x , y } ) <-> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) ) )
9897adantll 750 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 2 ) e. ( V \ { x , y } ) <-> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) ) )
9994, 98mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( P ` 2 ) e. ( V \ { x , y } ) )
100 eqcom 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( P ` 0 ) <-> ( P ` 0 ) = x )
101 eqcom 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( P ` 1 ) <-> ( P ` 1 ) = y )
102 eqcom 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( P ` 2 ) <-> ( P ` 2 ) = z )
103100, 101, 1023anbi123i 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) /\ z = ( P ` 2 ) ) <-> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
104103biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
105104ad4ant123 1294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
106100biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( P ` 0 ) = x )
107106ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 0 ) = x )
108101biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( P ` 1 ) -> ( P ` 1 ) = y )
109108ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 1 ) = y )
110107, 109preq12d 4276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } = { x , y } )
111110eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } <-> ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } ) )
112102biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( P ` 2 ) -> ( P ` 2 ) = z )
113112adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 2 ) = z )
114109, 113preq12d 4276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } = { y , z } )
115114eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } <-> ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) )
116111, 115anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) <-> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) )
117116biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) )
118105, 117jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) )
119118exp41 638 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( y = ( P ` 1 ) -> ( z = ( P ` 2 ) -> ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
120119adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( y = ( P ` 1 ) -> ( z = ( P ` 2 ) -> ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
121120imp31 448 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
12299, 121rspcimedv 3311 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
12337, 122rspcimedv 3311 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
1248, 123rspcimedv 3311 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ G e. USGraph ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
125124exp41 638 . . . . . . . . 9 |- ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I -> ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( G e. USGraph -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) ) )
126125com15 101 . . . . . . . 8 |- ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( G e. USGraph -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) ) )
127126pm2.43i 52 . . . . . . 7 |- ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( G e. USGraph -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
128127com12 32 . . . . . 6 |- ( G e. USGraph -> ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
129128adantr 481 . . . . 5 |- ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
130 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 2 ) )
131130raleqdv 3144 . . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> A. i e. ( 0..^ 2 ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) )
132 fzo0to2pr 12553 . . . . . . . . 9 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
133132raleqi 3142 . . . . . . . 8 |- ( A. i e. ( 0..^ 2 ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> A. i e. { 0 , 1 } ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } )
134 2wlklem 26563 . . . . . . . 8 |- ( A. i e. { 0 , 1 } ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
135133, 134bitri 264 . . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 0..^ 2 ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
136131, 135syl6bb 276 . . . . . 6 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) )
137136adantl 482 . . . . 5 |- ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) )
138 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0 ... ( # ` F ) ) = ( 0 ... 2 ) )
139138feq2d 6031 . . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> P : ( 0 ... 2 ) --> V ) )
140139adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> P : ( 0 ... 2 ) --> V ) )
141 f1eq2 6097 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 2 ) -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I <-> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) )
142130, 141syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I <-> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) )
143142imbi1d 331 . . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) <-> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )
144143adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) <-> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )
145140, 144imbi12d 334 . . . . 5 |- ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) <-> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
146129, 137, 1453imtr4d 283 . . . 4 |- ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
147146com14 96 . . 3 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
148147com23 86 . 2 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
1491483imp 1256 1 |- ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875   USGraph cusgr 26044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-umgr 25978  df-usgr 26046
This theorem is referenced by:  usgr2pth  26660
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