Theorem axsup 10113

Description: A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 22 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates ax-pre-sup 10014 with ordering on the extended reals.) (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
axsup	|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y < x ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem axsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pre-sup 10014	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <RR x ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) )
2	1	3expia 1267	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. RR A. y e. A y <RR x -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) ) )
3		ssel2 3598	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ y e. A ) -> y e. RR )
4		ltxrlt 10108	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR ) -> ( y < x <-> y <RR x ) )
5	3, 4	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. A ) /\ x e. RR ) -> ( y < x <-> y <RR x ) )
6	5	an32s 846	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( y < x <-> y <RR x ) )
7	6	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. A y < x <-> A. y e. A y <RR x ) )
8	7	rexbidva 3049	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR A. y e. A y < x <-> E. x e. RR A. y e. A y <RR x ) )
9	8	adantr 481	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. RR A. y e. A y < x <-> E. x e. RR A. y e. A y <RR x ) )
10		ltxrlt 10108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x < y <-> x <RR y ) )
11	10	ancoms 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR ) -> ( x < y <-> x <RR y ) )
12	3, 11	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. A ) /\ x e. RR ) -> ( x < y <-> x <RR y ) )
13	12	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( x < y <-> x <RR y ) )
14	13	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( -. x < y <-> -. x <RR y ) )
15	14	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. A -. x < y <-> A. y e. A -. x <RR y ) )
16	4	ancoms 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( y < x <-> y <RR x ) )
17	16	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( y < x <-> y <RR x ) )
18		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ z e. A ) -> z e. RR )
19		ltxrlt 10108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( y < z <-> y <RR z ) )
20	19	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR ) -> ( y < z <-> y <RR z ) )
21	18, 20	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR /\ z e. A ) /\ y e. RR ) -> ( y < z <-> y <RR z ) )
22	21	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( y < z <-> y <RR z ) )
23	22	rexbidva 3049	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ y e. RR ) -> ( E. z e. A y < z <-> E. z e. A y <RR z ) )
24	23	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( E. z e. A y < z <-> E. z e. A y <RR z ) )
25	17, 24	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( ( y < x -> E. z e. A y < z ) <-> ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) )
26	25	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) <-> A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) )
27	15, 26	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ x e. RR ) -> ( ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) <-> ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) ) )
28	27	rexbidva 3049	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) ) )
29	28	adantr 481	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) ) )
30	2, 9, 29	3imtr4d 283	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. RR A. y e. A y < x -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
31	30	3impia 1261	1 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y < x ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   RRcr 9935   <RR cltrr 9940   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  dedekind  10200  sup2  10979