Theorem dedekind 10200

Description: The Dedekind cut theorem. This theorem, which may be used to replace ax-pre-sup 10014 with appropriate adjustments, states that, if A completely preceeds B, then there is some number separating the two of them. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dedekind	|- ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z

Proof of Theorem dedekind

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ x ( A =/= (/) /\ B =/= (/) )
2		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ x ( A C_ RR /\ B C_ RR )
3		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ x A. x e. A A. y e. B x < y
4	1, 2, 3	nf3an 1831	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y )
5		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ x z e. RR
6		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. x e. A -. z < x
7		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w )
8	6, 7	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ x ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) )
9	5, 8	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ x ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) )
10	4, 9	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ x ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) )
11		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( A =/= (/) /\ B =/= (/) )
12		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( A C_ RR /\ B C_ RR )
13		nfra2 2946	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. x e. A A. y e. B x < y
14	11, 12, 13	nf3an 1831	. . . . . . . 8 |- F/ y ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y )
15		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ y ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) )
16	14, 15	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ y ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) )
17		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ y x e. A
18		simprrl 804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) ) -> A. x e. A -. z < x )
19	18	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) ) /\ x e. A ) -> -. z < x )
20		simpl2l 1114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) ) -> A C_ RR )
21	20	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
22		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) ) /\ x e. A ) -> z e. RR )
23	21, 22	lenltd 10183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) ) /\ x e. A ) -> ( x <_ z <-> -. z < x ) )
24	19, 23	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) ) /\ x e. A ) -> x <_ z )
25	24	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) ) -> ( x e. A -> x <_ z ) )
26		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) /\ y e. B ) ) -> A. x e. A A. y e. B x < y )
27		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> ( A C_ RR /\ B C_ RR ) )
28		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) /\ y e. B ) -> y e. B )
29		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. y e. B x < y -> ( y e. B -> x < y ) )
30	29	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. B -> ( A. y e. B x < y -> x < y ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( A. y e. B x < y -> x < y ) )
32		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A C_ RR /\ x e. A ) -> x e. RR )
33	32	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> x e. RR )
35		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ x e. A ) -> B C_ RR )
36	35	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> y e. RR )
37		ltnsym 10135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x < y -> -. y < x ) )
38	34, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( x < y -> -. y < x ) )
39	31, 38	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( A. y e. B x < y -> -. y < x ) )
40	39	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ y e. B ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. B x < y -> -. y < x ) )
41	40	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ y e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. B x < y -> A. x e. A -. y < x ) )
42	27, 28, 41	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) /\ y e. B ) ) -> ( A. x e. A A. y e. B x < y -> A. x e. A -. y < x ) )
43	26, 42	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) /\ y e. B ) ) -> A. x e. A -. y < x )
44		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( y < x <-> y < w ) )
45	44	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( -. y < x <-> -. y < w ) )
46	45	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. A -. y < x <-> A. w e. A -. y < w )
47	43, 46	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) /\ y e. B ) ) -> A. w e. A -. y < w )
48		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. w e. A -. y < w <-> -. E. w e. A y < w )
49	47, 48	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) /\ y e. B ) ) -> -. E. w e. A y < w )
50		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> B C_ RR )
51		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B C_ RR /\ y e. B ) -> y e. RR )
52	50, 28, 51	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) /\ y e. B ) ) -> y e. RR )
53		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) /\ y e. B ) -> A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) )
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) /\ y e. B ) ) -> A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) )
55		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( x < z <-> y < z ) )
56		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( x < w <-> y < w ) )
57	56	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( E. w e. A x < w <-> E. w e. A y < w ) )
58	55, 57	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( x < z -> E. w e. A x < w ) <-> ( y < z -> E. w e. A y < w ) ) )
59	58	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR -> ( A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) -> ( y < z -> E. w e. A y < w ) ) )
60	52, 54, 59	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) /\ y e. B ) ) -> ( y < z -> E. w e. A y < w ) )
61	49, 60	mtod 189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) /\ y e. B ) ) -> -. y < z )
62		simprll 802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) /\ y e. B ) ) -> z e. RR )
63	62, 52	lenltd 10183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) /\ y e. B ) ) -> ( z <_ y <-> -. y < z ) )
64	61, 63	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) /\ y e. B ) ) -> z <_ y )
65	64	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) ) -> ( y e. B -> z <_ y ) )
66	25, 65	anim12d 586	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x <_ z /\ z <_ y ) ) )
67	66	expd 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) ) -> ( x e. A -> ( y e. B -> ( x <_ z /\ z <_ y ) ) ) )
68	16, 17, 67	ralrimd 2959	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) ) -> ( x e. A -> A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) ) )
69	10, 68	ralrimi 2957	. . . . 5 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) /\ ( z e. RR /\ ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) ) ) -> A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) )
70		simp2l 1087	. . . . . 6 |- ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> A C_ RR )
71		simp1l 1085	. . . . . 6 |- ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> A =/= (/) )
72		simp1r 1086	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> B =/= (/) )
73		n0 3931	. . . . . . . . 9 |- ( B =/= (/) <-> E. z z e. B )
74	72, 73	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> E. z z e. B )
75	50	sseld 3602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> ( z e. B -> z e. RR ) )
76		ralcom 3098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. A A. y e. B x < y <-> A. y e. B A. x e. A x < y )
77		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( x < y <-> x < z ) )
78	77	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( A. x e. A x < y <-> A. x e. A x < z ) )
79	78	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. B A. x e. A x < y -> ( z e. B -> A. x e. A x < z ) )
80	76, 79	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A A. y e. B x < y -> ( z e. B -> A. x e. A x < z ) )
81	80	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> ( z e. B -> A. x e. A x < z ) )
82	75, 81	jcad 555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> ( z e. B -> ( z e. RR /\ A. x e. A x < z ) ) )
83	82	eximdv 1846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> ( E. z z e. B -> E. z ( z e. RR /\ A. x e. A x < z ) ) )
84	74, 83	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> E. z ( z e. RR /\ A. x e. A x < z ) )
85		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. z e. RR A. x e. A x < z <-> E. z ( z e. RR /\ A. x e. A x < z ) )
86	84, 85	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> E. z e. RR A. x e. A x < z )
87		axsup 10113	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. z e. RR A. x e. A x < z ) -> E. z e. RR ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) )
88	70, 71, 86, 87	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> E. z e. RR ( A. x e. A -. z < x /\ A. x e. RR ( x < z -> E. w e. A x < w ) ) )
89	69, 88	reximddv 3018	. . . 4 |- ( ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) /\ ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) )
90	89	3expib 1268	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ B =/= (/) ) -> ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) ) )
91		1re 10039	. . . . 5 |- 1 e. RR
92		rzal 4073	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. x e. A A. y e. B ( x <_ 1 /\ 1 <_ y ) )
93		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( x <_ z <-> x <_ 1 ) )
94		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( z <_ y <-> 1 <_ y ) )
95	93, 94	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( z = 1 -> ( ( x <_ z /\ z <_ y ) <-> ( x <_ 1 /\ 1 <_ y ) ) )
96	95	2ralbidv 2989	. . . . . 6 |- ( z = 1 -> ( A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x <_ 1 /\ 1 <_ y ) ) )
97	96	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ A. x e. A A. y e. B ( x <_ 1 /\ 1 <_ y ) ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) )
98	91, 92, 97	sylancr 695	. . . 4 |- ( A = (/) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) )
99	98	a1d 25	. . 3 |- ( A = (/) -> ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) ) )
100		rzal 4073	. . . . . 6 |- ( B = (/) -> A. y e. B ( x <_ 1 /\ 1 <_ y ) )
101	100	ralrimivw 2967	. . . . 5 |- ( B = (/) -> A. x e. A A. y e. B ( x <_ 1 /\ 1 <_ y ) )
102	91, 101, 97	sylancr 695	. . . 4 |- ( B = (/) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) )
103	102	a1d 25	. . 3 |- ( B = (/) -> ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) ) )
104	90, 99, 103	pm2.61iine 2884	. 2 |- ( ( ( A C_ RR /\ B C_ RR ) /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) )
105	104	3impa 1259	1 |- ( ( A C_ RR /\ B C_ RR /\ A. x e. A A. y e. B x < y ) -> E. z e. RR A. x e. A A. y e. B ( x <_ z /\ z <_ y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   RRcr 9935   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  dedekindle  10201