Theorem axunnd 9418

Description: A version of the Axiom of Union with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
axunnd	|- E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x )

Proof of Theorem axunnd

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunndlem1 9417	. . . 4 |- E. w A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. w )
2		nfnae 2318	. . . . . 6 |- F/ x -. A. x x = y
3		nfnae 2318	. . . . . 6 |- F/ x -. A. x x = z
4	2, 3	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ x ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
5		nfnae 2318	. . . . . . 7 |- F/ y -. A. x x = y
6		nfnae 2318	. . . . . . 7 |- F/ y -. A. x x = z
7	5, 6	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ y ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
8		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ w ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z )
9		nfcvf 2788	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. x x = y -> F/_ x y )
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x y )
11		nfcvd 2765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x w )
12	10, 11	nfeld 2773	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x y e. w )
13		nfcvf 2788	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. x x = z -> F/_ x z )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x z )
15	11, 14	nfeld 2773	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x w e. z )
16	12, 15	nfand 1826	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( y e. w /\ w e. z ) )
17	8, 16	nfexd 2167	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x E. w ( y e. w /\ w e. z ) )
18	17, 12	nfimd 1823	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. w ) )
19	7, 18	nfald 2165	. . . . 5 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. w ) )
20		nfcvd 2765	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ y w )
21		nfcvf2 2789	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. x x = y -> F/_ y x )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ y x )
23	20, 22	nfeqd 2772	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ y w = x )
24	7, 23	nfan1 2068	. . . . . . 7 |- F/ y ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x )
25		elequ2 2004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = x -> ( y e. w <-> y e. x ) )
26		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = x -> ( w e. z <-> x e. z ) )
27	25, 26	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = x -> ( ( y e. w /\ w e. z ) <-> ( y e. x /\ x e. z ) ) )
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( w = x -> ( ( y e. w /\ w e. z ) <-> ( y e. x /\ x e. z ) ) ) )
29	4, 16, 28	cbvexd 2278	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) <-> E. x ( y e. x /\ x e. z ) ) )
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) <-> E. x ( y e. x /\ x e. z ) ) )
31	25	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( y e. w <-> y e. x ) )
32	30, 31	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. w ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) )
33	24, 32	albid 2090	. . . . . 6 |- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. w ) <-> A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) )
34	33	ex 450	. . . . 5 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( w = x -> ( A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. w ) <-> A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) ) )
35	4, 19, 34	cbvexd 2278	. . . 4 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( E. w A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. w ) <-> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) )
36	1, 35	mpbii 223	. . 3 |- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
37	36	ex 450	. 2 |- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = z -> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) )
38		nfae 2316	. . . 4 |- F/ y A. x x = y
39		nfae 2316	. . . . . 6 |- F/ x A. x x = y
40		elirrv 8504	. . . . . . . . 9 |- -. y e. y
41		elequ2 2004	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( y e. x <-> y e. y ) )
42	40, 41	mtbiri 317	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> -. y e. x )
43	42	intnanrd 963	. . . . . . 7 |- ( x = y -> -. ( y e. x /\ x e. z ) )
44	43	sps 2055	. . . . . 6 |- ( A. x x = y -> -. ( y e. x /\ x e. z ) )
45	39, 44	nexd 2089	. . . . 5 |- ( A. x x = y -> -. E. x ( y e. x /\ x e. z ) )
46	45	pm2.21d 118	. . . 4 |- ( A. x x = y -> ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
47	38, 46	alrimi 2082	. . 3 |- ( A. x x = y -> A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
48		19.8a 2052	. . 3 |- ( A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) -> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
49	47, 48	syl 17	. 2 |- ( A. x x = y -> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
50		nfae 2316	. . . 4 |- F/ y A. x x = z
51		nfae 2316	. . . . . 6 |- F/ x A. x x = z
52		elirrv 8504	. . . . . . . . 9 |- -. z e. z
53		elequ1 1997	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x e. z <-> z e. z ) )
54	52, 53	mtbiri 317	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> -. x e. z )
55	54	intnand 962	. . . . . . 7 |- ( x = z -> -. ( y e. x /\ x e. z ) )
56	55	sps 2055	. . . . . 6 |- ( A. x x = z -> -. ( y e. x /\ x e. z ) )
57	51, 56	nexd 2089	. . . . 5 |- ( A. x x = z -> -. E. x ( y e. x /\ x e. z ) )
58	57	pm2.21d 118	. . . 4 |- ( A. x x = z -> ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
59	50, 58	alrimi 2082	. . 3 |- ( A. x x = z -> A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
60	59, 48	syl 17	. 2 |- ( A. x x = z -> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
61	37, 49, 60	pm2.61ii 177	1 |- E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   F/_wnfc 2751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-eprel 5029  df-fr 5073

This theorem is referenced by:  zfcndun  9437  axunprim  31580