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Theorem basqtop 21514
Description: An injection maps bases to bases. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1 |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
basqtop |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( J qTop F ) e. TopBases )
Proof of Theorem basqtop
Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofo 6144 . . . . 5 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -onto-> Y )
2 qtopcmp.1 . . . . . . 7 |- X = U. J
32elqtop2 21504 . . . . . 6 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
42elqtop2 21504 . . . . . 6 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( y e. ( J qTop F ) <-> ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) )
53, 4anbi12d 747 . . . . 5 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( x e. ( J qTop F ) /\ y e. ( J qTop F ) ) <-> ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) ) )
61, 5sylan2 491 . . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( x e. ( J qTop F ) /\ y e. ( J qTop F ) ) <-> ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) ) )
7 simpl1l 1112 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> J e. TopBases )
8 simpl2r 1115 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
9 simpl3r 1117 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> ( `' F " y ) e. J )
10 simpl1r 1113 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
11 f1ocnv 6149 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
12 f1ofn 6138 . . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F Fn Y )
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> `' F Fn Y )
14 simpl2l 1114 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> x C_ Y )
15 inss1 3833 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i y ) C_ x
16 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> z e. ( x i^i y ) )
1715, 16sseldi 3601 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> z e. x )
18 fnfvima 6496 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F Fn Y /\ x C_ Y /\ z e. x ) -> ( `' F ` z ) e. ( `' F " x ) )
1913, 14, 17, 18syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> ( `' F ` z ) e. ( `' F " x ) )
20 simpl3l 1116 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> y C_ Y )
21 inss2 3834 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i y ) C_ y
2221, 16sseldi 3601 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> z e. y )
23 fnfvima 6496 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F Fn Y /\ y C_ Y /\ z e. y ) -> ( `' F ` z ) e. ( `' F " y ) )
2413, 20, 22, 23syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> ( `' F ` z ) e. ( `' F " y ) )
2519, 24elind 3798 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> ( `' F ` z ) e. ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) )
26 basis2 20755 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. TopBases /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( ( `' F " y ) e. J /\ ( `' F ` z ) e. ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) -> E. w e. J ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) )
277, 8, 9, 25, 26syl22anc 1327 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. J ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) )
2810adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
29 simp2l 1087 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) -> x C_ Y )
3015, 29syl5ss 3614 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( x i^i y ) C_ Y )
3130sselda 3603 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> z e. Y )
3231adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> z e. Y )
33 f1ocnvfv2 6533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ z e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
3428, 32, 33syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
35 f1ofn 6138 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F Fn X )
3628, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> F Fn X )
37 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) )
38 inss1 3833 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) C_ ( `' F " x )
3937, 38syl6ss 3615 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> w C_ ( `' F " x ) )
40 cnvimass 5485 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F " x ) C_ dom F
41 f1odm 6141 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> dom F = X )
4228, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> dom F = X )
4340, 42syl5sseq 3653 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( `' F " x ) C_ X )
4439, 43sstrd 3613 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> w C_ X )
45 simprrl 804 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( `' F ` z ) e. w )
46 fnfvima 6496 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn X /\ w C_ X /\ ( `' F ` z ) e. w ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " w ) )
4736, 44, 45, 46syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " w ) )
4834, 47eqeltrrd 2702 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> z e. ( F " w ) )
49 imassrn 5477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F " w ) C_ ran F
5028, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> F : X -onto-> Y )
51 forn 6118 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : X -onto-> Y -> ran F = Y )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ran F = Y )
5349, 52syl5sseq 3653 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( F " w ) C_ Y )
54 f1of1 6136 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -1-1-> Y )
5528, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> F : X -1-1-> Y )
56 f1imacnv 6153 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ w C_ X ) -> ( `' F " ( F " w ) ) = w )
5755, 44, 56syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( `' F " ( F " w ) ) = w )
58 simprl 794 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> w e. J )
5957, 58eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( `' F " ( F " w ) ) e. J )
607adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> J e. TopBases )
612elqtop2 21504 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( F " w ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( F " w ) C_ Y /\ ( `' F " ( F " w ) ) e. J ) ) )
6260, 50, 61syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( ( F " w ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( F " w ) C_ Y /\ ( `' F " ( F " w ) ) e. J ) ) )
6353, 59, 62mpbir2and 957 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( F " w ) e. ( J qTop F ) )
64 fnfun 5988 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn X -> Fun F )
65 inpreima 6342 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun F -> ( `' F " ( x i^i y ) ) = ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) )
6636, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( `' F " ( x i^i y ) ) = ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) )
6737, 66sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> w C_ ( `' F " ( x i^i y ) ) )
6836, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> Fun F )
6939, 40syl6ss 3615 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> w C_ dom F )
70 funimass3 6333 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ w C_ dom F ) -> ( ( F " w ) C_ ( x i^i y ) <-> w C_ ( `' F " ( x i^i y ) ) ) )
7168, 69, 70syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( ( F " w ) C_ ( x i^i y ) <-> w C_ ( `' F " ( x i^i y ) ) ) )
7267, 71mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( F " w ) C_ ( x i^i y ) )
73 vex 3203 . . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
7473inex1 4799 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i y ) e. _V
7574elpw2 4828 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " w ) e. ~P ( x i^i y ) <-> ( F " w ) C_ ( x i^i y ) )
7672, 75sylibr 224 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( F " w ) e. ~P ( x i^i y ) )
7763, 76elind 3798 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> ( F " w ) e. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) )
78 elunii 4441 . . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( F " w ) /\ ( F " w ) e. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) ) -> z e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) )
7948, 77, 78syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) /\ ( w e. J /\ ( ( `' F ` z ) e. w /\ w C_ ( ( `' F " x ) i^i ( `' F " y ) ) ) ) ) -> z e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) )
8027, 79rexlimddv 3035 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> z e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) )
8180ex 450 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) -> z e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
8281ssrdv 3609 . . . . 5 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( x i^i y ) C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) )
83823expib 1268 . . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) /\ ( y C_ Y /\ ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( x i^i y ) C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
846, 83sylbid 230 . . 3 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( x e. ( J qTop F ) /\ y e. ( J qTop F ) ) -> ( x i^i y ) C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
8584ralrimivv 2970 . 2 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> A. x e. ( J qTop F ) A. y e. ( J qTop F ) ( x i^i y ) C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) )
86 ovex 6678 . . 3 |- ( J qTop F ) e. _V
87 isbasisg 20751 . . 3 |- ( ( J qTop F ) e. _V -> ( ( J qTop F ) e. TopBases <-> A. x e. ( J qTop F ) A. y e. ( J qTop F ) ( x i^i y ) C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
8886, 87ax-mp 5 . 2 |- ( ( J qTop F ) e. TopBases <-> A. x e. ( J qTop F ) A. y e. ( J qTop F ) ( x i^i y ) C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P ( x i^i y ) ) )
8985, 88sylibr 224 1 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( J qTop F ) e. TopBases )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   qTop cqtop 16163   TopBasesctb 20749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-qtop 16167  df-bases 20750
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