Theorem brdomg 7965

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
brdomg	|- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Allowed substitution hint:   C( f)

Proof of Theorem brdomg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq2 6097	. . . . 5 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-> y <-> f : A -1-1-> y ) )
2	1	exbidv 1850	. . . 4 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-> y <-> E. f f : A -1-1-> y ) )
3		f1eq3 6098	. . . . 5 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-> y <-> f : A -1-1-> B ) )
4	3	exbidv 1850	. . . 4 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-> y <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
5		df-dom 7957	. . . 4 |- ~<_ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y }
6	2, 4, 5	brabg 4994	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. C ) -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
7	6	ex 450	. 2 |- ( A e. _V -> ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) ) )
8		reldom 7961	. . . . 5 |- Rel ~<_
9	8	brrelexi 5158	. . . 4 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
10		f1f 6101	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-> B -> f : A --> B )
11		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( f : A --> B -> dom f = A )
12		vex 3203	. . . . . . . 8 |- f e. _V
13	12	dmex 7099	. . . . . . 7 |- dom f e. _V
14	11, 13	syl6eqelr 2710	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> A e. _V )
15	10, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-> B -> A e. _V )
16	15	exlimiv 1858	. . . 4 |- ( E. f f : A -1-1-> B -> A e. _V )
17	9, 16	pm5.21ni 367	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
18	17	a1d 25	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) ) )
19	7, 18	pm2.61i 176	1 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-dom 7957

This theorem is referenced by:  brdomi  7966  brdom  7967  f1dom2g  7973  f1domg  7975  dom3d  7997  domdifsn  8043  fidomtri  8819  hashdom  13168  hashge3el3dif  13268  sizusglecusg  26359  erdsze2lem1  31185