Theorem brdom 7967

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
bren.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brdom	|- ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem brdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren.1	. 2 |- B e. _V
2		brdomg 7965	. 2 |- ( B e. _V -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B )

Syntax hints:   <-> wb 196   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   -1-1->wf1 5885   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-dom 7957

This theorem is referenced by:  domen  7968  domtr  8009  sbthlem10  8079  1sdom  8163  ac10ct  8857  domtriomlem  9264  2ndcdisj  21259  birthdaylem3  24680