Theorem brwdom3 8487

Description: Condition for weak dominance with a condition reminiscent of wdomd 8486. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brwdom3	|- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> ( X ~<_* Y <-> E. f A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) ) )

Distinct variable groups:   f, X, x, y   f, Y, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y, f)   W( x, y, f)

Proof of Theorem brwdom3

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 |- ( X e. V -> X e. _V )
2		elex 3212	. 2 |- ( Y e. W -> Y e. _V )
3		brwdom2 8478	. . . . 5 |- ( Y e. _V -> ( X ~<_* Y <-> E. z e. ~P Y E. f f : z -onto-> X ) )
4	3	adantl 482	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X ~<_* Y <-> E. z e. ~P Y E. f f : z -onto-> X ) )
5		dffo3 6374	. . . . . . . 8 |- ( f : z -onto-> X <-> ( f : z --> X /\ A. x e. X E. y e. z x = ( f ` y ) ) )
6	5	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( f : z -onto-> X -> A. x e. X E. y e. z x = ( f ` y ) )
7		elpwi 4168	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~P Y -> z C_ Y )
8		ssrexv 3667	. . . . . . . . . 10 |- ( z C_ Y -> ( E. y e. z x = ( f ` y ) -> E. y e. Y x = ( f ` y ) ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P Y -> ( E. y e. z x = ( f ` y ) -> E. y e. Y x = ( f ` y ) ) )
10	9	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ z e. ~P Y ) -> ( E. y e. z x = ( f ` y ) -> E. y e. Y x = ( f ` y ) ) )
11	10	ralimdv 2963	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ z e. ~P Y ) -> ( A. x e. X E. y e. z x = ( f ` y ) -> A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) ) )
12	6, 11	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ z e. ~P Y ) -> ( f : z -onto-> X -> A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) ) )
13	12	eximdv 1846	. . . . 5 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ z e. ~P Y ) -> ( E. f f : z -onto-> X -> E. f A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) ) )
14	13	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( E. z e. ~P Y E. f f : z -onto-> X -> E. f A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) ) )
15	4, 14	sylbid 230	. . 3 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X ~<_* Y -> E. f A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) ) )
16		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) ) -> X e. _V )
17		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) ) -> Y e. _V )
18		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( x = ( f ` y ) <-> z = ( f ` y ) ) )
19	18	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( E. y e. Y x = ( f ` y ) <-> E. y e. Y z = ( f ` y ) ) )
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( f ` y ) = ( f ` w ) )
21	20	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( z = ( f ` y ) <-> z = ( f ` w ) ) )
22	21	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. Y z = ( f ` y ) <-> E. w e. Y z = ( f ` w ) )
23	19, 22	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( E. y e. Y x = ( f ` y ) <-> E. w e. Y z = ( f ` w ) ) )
24	23	cbvralv 3171	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) <-> A. z e. X E. w e. Y z = ( f ` w ) )
25	24	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) -> A. z e. X E. w e. Y z = ( f ` w ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) ) -> A. z e. X E. w e. Y z = ( f ` w ) )
27	26	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) ) /\ z e. X ) -> E. w e. Y z = ( f ` w ) )
28	16, 17, 27	wdom2d 8485	. . . . 5 |- ( ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) ) -> X ~<_* Y )
29	28	ex 450	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) -> X ~<_* Y ) )
30	29	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( E. f A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) -> X ~<_* Y ) )
31	15, 30	impbid 202	. 2 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X ~<_* Y <-> E. f A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) ) )
32	1, 2, 31	syl2an 494	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> ( X ~<_* Y <-> E. f A. x e. X E. y e. Y x = ( f ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   ~<_^* cwdom 8462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-wdom 8464

This theorem is referenced by:  brwdom3i  8488