Theorem brwdom2 8478

Description: Alternate characterization of the weak dominance predicate which does not require special treatment of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brwdom2	|- ( Y e. V -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )

Distinct variable groups:   y, X, z   y, Y, z

Allowed substitution hints:   V( y, z)

Proof of Theorem brwdom2

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 |- ( Y e. V -> Y e. _V )
2		0wdom 8475	. . . . . 6 |- ( Y e. _V -> (/) ~<_* Y )
3		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> ( X ~<_* Y <-> (/) ~<_* Y ) )
4	2, 3	syl5ibrcom 237	. . . . 5 |- ( Y e. _V -> ( X = (/) -> X ~<_* Y ) )
5	4	imp 445	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X = (/) ) -> X ~<_* Y )
6		0elpw 4834	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P Y
7		f1o0 6173	. . . . . . . 8 |- (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
8		f1ofo 6144	. . . . . . . 8 |- ( (/) : (/) -1-1-onto-> (/) -> (/) : (/) -onto-> (/) )
9		0ex 4790	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
10		foeq1 6111	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( z : (/) -onto-> (/) <-> (/) : (/) -onto-> (/) ) )
11	9, 10	spcev 3300	. . . . . . . 8 |- ( (/) : (/) -onto-> (/) -> E. z z : (/) -onto-> (/) )
12	7, 8, 11	mp2b 10	. . . . . . 7 |- E. z z : (/) -onto-> (/)
13		foeq2 6112	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( z : y -onto-> (/) <-> z : (/) -onto-> (/) ) )
14	13	exbidv 1850	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( E. z z : y -onto-> (/) <-> E. z z : (/) -onto-> (/) ) )
15	14	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. ~P Y /\ E. z z : (/) -onto-> (/) ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> (/) )
16	6, 12, 15	mp2an 708	. . . . . 6 |- E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> (/)
17		foeq3 6113	. . . . . . . 8 |- ( X = (/) -> ( z : y -onto-> X <-> z : y -onto-> (/) ) )
18	17	exbidv 1850	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> ( E. z z : y -onto-> X <-> E. z z : y -onto-> (/) ) )
19	18	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> ( E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> (/) ) )
20	16, 19	mpbiri 248	. . . . 5 |- ( X = (/) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
21	20	adantl 482	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X = (/) ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
22	5, 21	2thd 255	. . 3 |- ( ( Y e. _V /\ X = (/) ) -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
23		brwdomn0 8474	. . . . 5 |- ( X =/= (/) -> ( X ~<_* Y <-> E. x x : Y -onto-> X ) )
24	23	adantl 482	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( X ~<_* Y <-> E. x x : Y -onto-> X ) )
25		foeq1 6111	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x : Y -onto-> X <-> z : Y -onto-> X ) )
26	25	cbvexv 2275	. . . . . 6 |- ( E. x x : Y -onto-> X <-> E. z z : Y -onto-> X )
27		pwidg 4173	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. _V -> Y e. ~P Y )
28	27	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ E. z z : Y -onto-> X ) -> Y e. ~P Y )
29		foeq2 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( z : y -onto-> X <-> z : Y -onto-> X ) )
30	29	exbidv 1850	. . . . . . . . 9 |- ( y = Y -> ( E. z z : y -onto-> X <-> E. z z : Y -onto-> X ) )
31	30	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. ~P Y /\ E. z z : Y -onto-> X ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
32	28, 31	sylancom 701	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ E. z z : Y -onto-> X ) -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X )
33	32	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. z z : Y -onto-> X -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
34	26, 33	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. x x : Y -onto-> X -> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
35		n0 3931	. . . . . . . . . . 11 |- ( X =/= (/) <-> E. w w e. X )
36	35	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( X =/= (/) -> E. w w e. X )
37	36	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> E. w w e. X )
38		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
39		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y e. _V -> ( Y \ y ) e. _V )
40		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { w } e. _V
41		xpexg 6960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y \ y ) e. _V /\ { w } e. _V ) -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) e. _V )
42	39, 40, 41	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. _V -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) e. _V )
43		unexg 6959	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. _V /\ ( ( Y \ y ) X. { w } ) e. _V ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
44	38, 42, 43	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. _V -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V )
47		fofn 6117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z : y -onto-> X -> z Fn y )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) -> z Fn y )
49	48	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> z Fn y )
50		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
51		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. _V -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) Fn ( Y \ y ) )
52	50, 51	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) Fn ( Y \ y ) )
53		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y i^i ( Y \ y ) ) = (/)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( y i^i ( Y \ y ) ) = (/) )
55		fnun 5997	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z Fn y /\ ( ( Y \ y ) X. { w } ) Fn ( Y \ y ) ) /\ ( y i^i ( Y \ y ) ) = (/) ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn ( y u. ( Y \ y ) ) )
56	49, 52, 54, 55	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn ( y u. ( Y \ y ) ) )
57		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ~P Y -> y C_ Y )
58		undif 4049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C_ Y <-> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
59	57, 58	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ~P Y -> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
60	59	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( y u. ( Y \ y ) ) = Y )
62	61	fneq2d 5982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn ( y u. ( Y \ y ) ) <-> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn Y ) )
63	56, 62	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn Y )
64		rnun 5541	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = ( ran z u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) )
65		forn 6118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z : y -onto-> X -> ran z = X )
66	65	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> ran z = X )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ran z = X )
68	67	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ran z u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = ( X u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) )
69		fconst6g 6094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. X -> ( ( Y \ y ) X. { w } ) : ( Y \ y ) --> X )
70		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Y \ y ) X. { w } ) : ( Y \ y ) --> X -> ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X )
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. X -> ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X )
73		ssequn2 3786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) C_ X <-> ( X u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
74	72, 73	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( X u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
75	68, 74	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( ran z u. ran ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
76	64, 75	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ran ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X )
77		df-fo 5894	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X <-> ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) Fn Y /\ ran ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) = X ) )
78	63, 76, 77	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X )
79		foeq1 6111	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) -> ( x : Y -onto-> X <-> ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X ) )
80	79	spcegv 3294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) e. _V -> ( ( z u. ( ( Y \ y ) X. { w } ) ) : Y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
81	46, 78, 80	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) /\ w e. X ) -> E. x x : Y -onto-> X )
82	37, 81	exlimddv 1863	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ ( y e. ~P Y /\ z : y -onto-> X ) ) -> E. x x : Y -onto-> X )
83	82	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ y e. ~P Y ) -> ( z : y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
84	83	exlimdv 1861	. . . . . 6 |- ( ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) /\ y e. ~P Y ) -> ( E. z z : y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
85	84	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X -> E. x x : Y -onto-> X ) )
86	34, 85	impbid 202	. . . 4 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( E. x x : Y -onto-> X <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
87	24, 86	bitrd 268	. . 3 |- ( ( Y e. _V /\ X =/= (/) ) -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
88	22, 87	pm2.61dane 2881	. 2 |- ( Y e. _V -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )
89	1, 88	syl 17	1 |- ( Y e. V -> ( X ~<_* Y <-> E. y e. ~P Y E. z z : y -onto-> X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ~<_^* cwdom 8462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-wdom 8464

This theorem is referenced by:  brwdom3  8487