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Theorem catlid 16344
Description: Left identity property of an identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidcl.b |- B = ( Base ` C )
catidcl.h |- H = ( Hom ` C )
catidcl.i |- .1. = ( Id ` C )
catidcl.c |- ( ph -> C e. Cat )
catidcl.x |- ( ph -> X e. B )
catlid.o |- .x. = (comp ` C )
catlid.y |- ( ph -> Y e. B )
catlid.f |- ( ph -> F e. ( X H Y ) )
Assertion
Ref Expression
catlid |- ( ph -> ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) F ) = F )
Proof of Theorem catlid
Dummy variables f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catlid.f . 2 |- ( ph -> F e. ( X H Y ) )
2 catidcl.x . . 3 |- ( ph -> X e. B )
3 simpl 473 . . . . . . . 8 |- ( ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) -> A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f )
43ralimi 2952 . . . . . . 7 |- ( A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) -> A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f )
54a1i 11 . . . . . 6 |- ( g e. ( Y H Y ) -> ( A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) -> A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f ) )
65ss2rabi 3684 . . . . 5 |- { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) } C_ { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f }
7 catidcl.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` C )
8 catidcl.h . . . . . . 7 |- H = ( Hom ` C )
9 catlid.o . . . . . . 7 |- .x. = (comp ` C )
10 catidcl.c . . . . . . 7 |- ( ph -> C e. Cat )
11 catidcl.i . . . . . . 7 |- .1. = ( Id ` C )
12 catlid.y . . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. B )
137, 8, 9, 10, 11, 12cidval 16338 . . . . . 6 |- ( ph -> ( .1. ` Y ) = ( iota_ g e. ( Y H Y ) A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) ) )
147, 8, 9, 10, 12catideu 16336 . . . . . . 7 |- ( ph -> E! g e. ( Y H Y ) A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) )
15 riotacl2 6624 . . . . . . 7 |- ( E! g e. ( Y H Y ) A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) -> ( iota_ g e. ( Y H Y ) A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) ) e. { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) } )
1614, 15syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> ( iota_ g e. ( Y H Y ) A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) ) e. { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) } )
1713, 16eqeltrd 2701 . . . . 5 |- ( ph -> ( .1. ` Y ) e. { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B ( A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f /\ A. f e. ( Y H x ) ( f ( <. Y , Y >. .x. x ) g ) = f ) } )
186, 17sseldi 3601 . . . 4 |- ( ph -> ( .1. ` Y ) e. { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f } )
19 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( g = ( .1. ` Y ) -> ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) )
2019eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( g = ( .1. ` Y ) -> ( ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f <-> ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f ) )
21202ralbidv 2989 . . . . . 6 |- ( g = ( .1. ` Y ) -> ( A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f <-> A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f ) )
2221elrab 3363 . . . . 5 |- ( ( .1. ` Y ) e. { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f } <-> ( ( .1. ` Y ) e. ( Y H Y ) /\ A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f ) )
2322simprbi 480 . . . 4 |- ( ( .1. ` Y ) e. { g e. ( Y H Y ) | A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( g ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f } -> A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f )
2418, 23syl 17 . . 3 |- ( ph -> A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f )
25 oveq1 6657 . . . . 5 |- ( x = X -> ( x H Y ) = ( X H Y ) )
26 opeq1 4402 . . . . . . . 8 |- ( x = X -> <. x , Y >. = <. X , Y >. )
2726oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( x = X -> ( <. x , Y >. .x. Y ) = ( <. X , Y >. .x. Y ) )
2827oveqd 6667 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) f ) )
2928eqeq1d 2624 . . . . 5 |- ( x = X -> ( ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f <-> ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) f ) = f ) )
3025, 29raleqbidv 3152 . . . 4 |- ( x = X -> ( A. f e. ( x H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f <-> A. f e. ( X H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) f ) = f ) )
3130rspcv 3305 . . 3 |- ( X e. B -> ( A. x e. B A. f e. ( x H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. x , Y >. .x. Y ) f ) = f -> A. f e. ( X H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) f ) = f ) )
322, 24, 31sylc 65 . 2 |- ( ph -> A. f e. ( X H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) f ) = f )
33 oveq2 6658 . . . 4 |- ( f = F -> ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) f ) = ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) F ) )
34 id 22 . . . 4 |- ( f = F -> f = F )
3533, 34eqeq12d 2637 . . 3 |- ( f = F -> ( ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) f ) = f <-> ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) F ) = F ) )
3635rspcv 3305 . 2 |- ( F e. ( X H Y ) -> ( A. f e. ( X H Y ) ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) f ) = f -> ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) F ) = F ) )
371, 32, 36sylc 65 1 |- ( ph -> ( ( .1. ` Y ) ( <. X , Y >. .x. Y ) F ) = F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   {crab 2916   <.cop 4183   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-cat 16329  df-cid 16330
This theorem is referenced by:  oppccatid  16379  sectcan  16415  sectco  16416  sectmon  16442  monsect  16443  sectid  16446  invisoinvl  16450  subccatid  16506  fucidcl  16625  fuclid  16626  invfuc  16634  arwlid  16722  xpccatid  16828  evlfcl  16862  curf1cl  16868  curf2cl  16871  curfcl  16872  curfuncf  16878  uncfcurf  16879  hofcl  16899  yon12  16905  yon2  16906  yonedalem3b  16919  yonedainv  16921
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