Theorem catsubcat 16499

Description: For any category C, C itself is a (full) subcategory of C, see example 4.3(1.b) in [Adamek] p. 48. (Contributed by AV, 23-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
catsubcat	|- ( C e. Cat -> ( Hom f ` C ) e. (Subcat ` C ) )

Proof of Theorem catsubcat

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. . . 4 |- ( Base ` C ) C_ ( Base ` C )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( C e. Cat -> ( Base ` C ) C_ ( Base ` C ) )
3		ssid 3624	. . . . 5 |- ( x ( Hom f ` C ) y ) C_ ( x ( Hom f ` C ) y )
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ( C e. Cat /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> ( x ( Hom f ` C ) y ) C_ ( x ( Hom f ` C ) y ) )
5	4	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( C e. Cat -> A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) ( x ( Hom f ` C ) y ) C_ ( x ( Hom f ` C ) y ) )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Hom f ` C ) = ( Hom f ` C )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
8	6, 7	homffn 16353	. . . . 5 |- ( Hom f ` C ) Fn ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) )
9	8	a1i 11	. . . 4 |- ( C e. Cat -> ( Hom f ` C ) Fn ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) )
10		fvexd 6203	. . . 4 |- ( C e. Cat -> ( Base ` C ) e. _V )
11	9, 9, 10	isssc 16480	. . 3 |- ( C e. Cat -> ( ( Hom f ` C ) C_cat ( Hom f ` C ) <-> ( ( Base ` C ) C_ ( Base ` C ) /\ A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) ( x ( Hom f ` C ) y ) C_ ( x ( Hom f ` C ) y ) ) ) )
12	2, 5, 11	mpbir2and 957	. 2 |- ( C e. Cat -> ( Hom f ` C ) C_cat ( Hom f ` C ) )
13		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
14		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
15		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> C e. Cat )
16		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
17	7, 13, 14, 15, 16	catidcl 16343	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( Hom ` C ) x ) )
18	6, 7, 13, 16, 16	homfval 16352	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( x ( Hom f ` C ) x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) )
19	17, 18	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( Hom f ` C ) x ) )
20		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
21	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) -> C e. Cat )
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ) ) -> C e. Cat )
23	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
25		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
27	26	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
28		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) -> z e. ( Base ` C ) )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) -> z e. ( Base ` C ) )
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ) ) -> z e. ( Base ` C ) )
31	6, 7, 13, 23, 26	homfval 16352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) -> ( x ( Hom f ` C ) y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
32	31	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) -> ( f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) <-> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) )
33	32	biimpcd 239	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) -> ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ) -> ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) )
35	34	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) )
36	6, 7, 13, 26, 29	homfval 16352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) -> ( y ( Hom f ` C ) z ) = ( y ( Hom ` C ) z ) )
37	36	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) -> ( g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) <-> g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) )
38	37	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) -> ( g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) -> g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) )
39	38	adantld 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) -> ( ( f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ) -> g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) )
40	39	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ) ) -> g e. ( y ( Hom ` C ) z ) )
41	7, 13, 20, 22, 24, 27, 30, 35, 40	catcocl 16346	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) )
42	6, 7, 13, 23, 29	homfval 16352	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) -> ( x ( Hom f ` C ) z ) = ( x ( Hom ` C ) z ) )
43	42	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ) ) -> ( x ( Hom f ` C ) z ) = ( x ( Hom ` C ) z ) )
44	41, 43	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom f ` C ) z ) )
45	44	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) -> A. f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom f ` C ) z ) )
46	45	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( Base ` C ) A. f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom f ` C ) z ) )
47	19, 46	jca 554	. . 3 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( Hom f ` C ) x ) /\ A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( Base ` C ) A. f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom f ` C ) z ) ) )
48	47	ralrimiva 2966	. 2 |- ( C e. Cat -> A. x e. ( Base ` C ) ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( Hom f ` C ) x ) /\ A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( Base ` C ) A. f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom f ` C ) z ) ) )
49		id 22	. . 3 |- ( C e. Cat -> C e. Cat )
50	6, 14, 20, 49, 9	issubc2 16496	. 2 |- ( C e. Cat -> ( ( Hom f ` C ) e. (Subcat ` C ) <-> ( ( Hom f ` C ) C_cat ( Hom f ` C ) /\ A. x e. ( Base ` C ) ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( Hom f ` C ) x ) /\ A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( Base ` C ) A. f e. ( x ( Hom f ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom f ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom f ` C ) z ) ) ) ) )
51	12, 48, 50	mpbir2and 957	1 |- ( C e. Cat -> ( Hom f ` C ) e. (Subcat ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326   Hom _f chomf 16327   C__cat cssc 16467  Subcatcsubc 16469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-cat 16329  df-cid 16330  df-homf 16331  df-ssc 16470  df-subc 16472

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