Theorem catcocl 16346

Description: Closure of a composition arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcocl.b	|- B = ( Base ` C )
catcocl.h	|- H = ( Hom ` C )
catcocl.o	|- .x. = (comp ` C )
catcocl.c	|- ( ph -> C e. Cat )
catcocl.x	|- ( ph -> X e. B )
catcocl.y	|- ( ph -> Y e. B )
catcocl.z	|- ( ph -> Z e. B )
catcocl.f	|- ( ph -> F e. ( X H Y ) )
catcocl.g	|- ( ph -> G e. ( Y H Z ) )

Assertion

Ref	Expression
catcocl	|- ( ph -> ( G ( <. X , Y >. .x. Z ) F ) e. ( X H Z ) )

Proof of Theorem catcocl

Dummy variables f g v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcocl.c	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
2		catcocl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` C )
3		catcocl.h	. . . . 5 |- H = ( Hom ` C )
4		catcocl.o	. . . . 5 |- .x. = (comp ` C )
5	2, 3, 4	iscat 16333	. . . 4 |- ( C e. Cat -> ( C e. Cat <-> A. x e. B ( E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) /\ A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. v e. ( z H w ) ( ( v ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( v ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) ) )
6	5	ibi 256	. . 3 |- ( C e. Cat -> A. x e. B ( E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) /\ A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. v e. ( z H w ) ( ( v ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( v ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) )
7		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. v e. ( z H w ) ( ( v ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( v ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) )
8	7	2ralimi 2953	. . . . . 6 |- ( A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. v e. ( z H w ) ( ( v ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( v ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) -> A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) )
9	8	2ralimi 2953	. . . . 5 |- ( A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. v e. ( z H w ) ( ( v ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( v ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) -> A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) )
10	9	adantl 482	. . . 4 |- ( ( E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) /\ A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. v e. ( z H w ) ( ( v ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( v ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) -> A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) )
11	10	ralimi 2952	. . 3 |- ( A. x e. B ( E. g e. ( x H x ) A. y e. B ( A. f e. ( y H x ) ( g ( <. y , x >. .x. x ) f ) = f /\ A. f e. ( x H y ) ( f ( <. x , x >. .x. y ) g ) = f ) /\ A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) /\ A. w e. B A. v e. ( z H w ) ( ( v ( <. y , z >. .x. w ) g ) ( <. x , y >. .x. w ) f ) = ( v ( <. x , z >. .x. w ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) ) ) ) -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) )
12	1, 6, 11	3syl 18	. 2 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) )
13		catcocl.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
14		catcocl.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. B )
15	14	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = X ) -> Y e. B )
16		catcocl.z	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. B )
17	16	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) -> Z e. B )
18		catcocl.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( X H Y ) )
19	18	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) -> F e. ( X H Y ) )
20		simpllr 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) -> x = X )
21		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) -> y = Y )
22	20, 21	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) -> ( x H y ) = ( X H Y ) )
23	19, 22	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) -> F e. ( x H y ) )
24		catcocl.g	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G e. ( Y H Z ) )
25	24	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) -> G e. ( Y H Z ) )
26		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) -> z = Z )
27	21, 26	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) -> ( y H z ) = ( Y H Z ) )
28	25, 27	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) -> G e. ( y H z ) )
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) /\ f = F ) -> G e. ( y H z ) )
30		simp-5r 809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) /\ f = F ) /\ g = G ) -> x = X )
31		simp-4r 807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) /\ f = F ) /\ g = G ) -> y = Y )
32	30, 31	opeq12d 4410	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) /\ f = F ) /\ g = G ) -> <. x , y >. = <. X , Y >. )
33		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) /\ f = F ) /\ g = G ) -> z = Z )
34	32, 33	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) /\ f = F ) /\ g = G ) -> ( <. x , y >. .x. z ) = ( <. X , Y >. .x. Z ) )
35		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) /\ f = F ) /\ g = G ) -> g = G )
36		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) /\ f = F ) /\ g = G ) -> f = F )
37	34, 35, 36	oveq123d 6671	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) /\ f = F ) /\ g = G ) -> ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) = ( G ( <. X , Y >. .x. Z ) F ) )
38	30, 33	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) /\ f = F ) /\ g = G ) -> ( x H z ) = ( X H Z ) )
39	37, 38	eleq12d 2695	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) /\ f = F ) /\ g = G ) -> ( ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) <-> ( G ( <. X , Y >. .x. Z ) F ) e. ( X H Z ) ) )
40	29, 39	rspcdv 3312	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) /\ f = F ) -> ( A. g e. ( y H z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) -> ( G ( <. X , Y >. .x. Z ) F ) e. ( X H Z ) ) )
41	23, 40	rspcimdv 3310	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ z = Z ) -> ( A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) -> ( G ( <. X , Y >. .x. Z ) F ) e. ( X H Z ) ) )
42	17, 41	rspcimdv 3310	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) -> ( A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) -> ( G ( <. X , Y >. .x. Z ) F ) e. ( X H Z ) ) )
43	15, 42	rspcimdv 3310	. . 3 |- ( ( ph /\ x = X ) -> ( A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) -> ( G ( <. X , Y >. .x. Z ) F ) e. ( X H Z ) ) )
44	13, 43	rspcimdv 3310	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x H z ) -> ( G ( <. X , Y >. .x. Z ) F ) e. ( X H Z ) ) )
45	12, 44	mpd 15	1 |- ( ph -> ( G ( <. X , Y >. .x. Z ) F ) e. ( X H Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-cat 16329

This theorem is referenced by:  oppccatid  16379  ismon2  16394  isepi2  16401  sectco  16416  monsect  16443  catsubcat  16499  issubc3  16509  fullsubc  16510  idfucl  16541  cofucl  16548  fthsect  16585  fthmon  16587  fuccocl  16624  invfuc  16634  2initoinv  16660  initoeu2lem0  16663  initoeu2lem1  16664  initoeu2  16666  2termoinv  16667  coahom  16720  catcisolem  16756  xpccatid  16828  1stfcl  16837  2ndfcl  16838  prfcl  16843  evlfcllem  16861  evlfcl  16862  curf1cl  16868  curfcl  16872  hofcllem  16898  hofcl  16899  yon12  16905  hofpropd  16907  yonedalem4c  16917  srhmsubc  42076  srhmsubcALTV  42094