Theorem cidpropd 16370

Description: Two structures with the same base, hom-sets and composition operation have the same identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
catpropd.1	|- ( ph -> ( Hom f ` C ) = ( Hom f ` D ) )
catpropd.2	|- ( ph -> (compf ` C ) = (compf ` D ) )
catpropd.3	|- ( ph -> C e. V )
catpropd.4	|- ( ph -> D e. W )

Assertion

Ref	Expression
cidpropd	|- ( ph -> ( Id ` C ) = ( Id ` D ) )

Proof of Theorem cidpropd

Dummy variables f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catpropd.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Hom f ` C ) = ( Hom f ` D ) )
2	1	homfeqbas 16356	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` C ) = ( Base ` D ) )
3	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> ( Base ` C ) = ( Base ` D ) )
4		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
5		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
6		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Hom ` D ) = ( Hom ` D )
7	1	ad4antr 768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> ( Hom f ` C ) = ( Hom f ` D ) )
8		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
9		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	homfeqval 16357	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> ( y ( Hom ` C ) x ) = ( y ( Hom ` D ) x ) )
11		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
12		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (comp ` D ) = (comp ` D )
13	1	ad5antr 770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) -> ( Hom f ` C ) = ( Hom f ` D ) )
14		catpropd.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (compf ` C ) = (compf ` D ) )
15	14	ad5antr 770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) -> (compf ` C ) = (compf ` D ) )
16		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
17		simp-4r 807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
18		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) -> f e. ( y ( Hom ` C ) x ) )
19		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) -> g e. ( x ( Hom ` C ) x ) )
20	4, 5, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 17, 18, 19	comfeqval 16368	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) -> ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = ( g ( <. y , x >. (comp ` D ) x ) f ) )
21	20	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ) -> ( ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f <-> ( g ( <. y , x >. (comp ` D ) x ) f ) = f ) )
22	10, 21	raleqbidva 3154	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f <-> A. f e. ( y ( Hom ` D ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` D ) x ) f ) = f ) )
23	4, 5, 6, 7, 9, 8	homfeqval 16357	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> ( x ( Hom ` C ) y ) = ( x ( Hom ` D ) y ) )
24	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> ( Hom f ` C ) = ( Hom f ` D ) )
25	14	ad5antr 770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> (compf ` C ) = (compf ` D ) )
26	9	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
27		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
28		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> g e. ( x ( Hom ` C ) x ) )
29		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) )
30	4, 5, 11, 12, 24, 25, 26, 26, 27, 28, 29	comfeqval 16368	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = ( f ( <. x , x >. (comp ` D ) y ) g ) )
31	30	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> ( ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f <-> ( f ( <. x , x >. (comp ` D ) y ) g ) = f ) )
32	23, 31	raleqbidva 3154	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> ( A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f <-> A. f e. ( x ( Hom ` D ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` D ) y ) g ) = f ) )
33	22, 32	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> ( ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) <-> ( A. f e. ( y ( Hom ` D ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` D ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` D ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` D ) y ) g ) = f ) ) )
34	33	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) ) -> ( A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) <-> A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` D ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` D ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` D ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` D ) y ) g ) = f ) ) )
35	34	riotabidva 6627	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) = ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` D ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` D ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` D ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` D ) y ) g ) = f ) ) )
36	1	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( Hom f ` C ) = ( Hom f ` D ) )
37		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
38	4, 5, 6, 36, 37, 37	homfeqval 16357	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( x ( Hom ` C ) x ) = ( x ( Hom ` D ) x ) )
39	2	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( Base ` C ) = ( Base ` D ) )
40	39	raleqdv 3144	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` D ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` D ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` D ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` D ) y ) g ) = f ) <-> A. y e. ( Base ` D ) ( A. f e. ( y ( Hom ` D ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` D ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` D ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` D ) y ) g ) = f ) ) )
41	38, 40	riotaeqbidv 6614	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` D ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` D ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` D ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` D ) y ) g ) = f ) ) = ( iota_ g e. ( x ( Hom ` D ) x ) A. y e. ( Base ` D ) ( A. f e. ( y ( Hom ` D ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` D ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` D ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` D ) y ) g ) = f ) ) )
42	35, 41	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ C e. Cat ) /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) = ( iota_ g e. ( x ( Hom ` D ) x ) A. y e. ( Base ` D ) ( A. f e. ( y ( Hom ` D ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` D ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` D ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` D ) y ) g ) = f ) ) )
43	3, 42	mpteq12dva 4732	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> ( x e. ( Base ` C ) |-> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) ) = ( x e. ( Base ` D ) |-> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` D ) x ) A. y e. ( Base ` D ) ( A. f e. ( y ( Hom ` D ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` D ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` D ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` D ) y ) g ) = f ) ) ) )
44		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> C e. Cat )
45		eqid 2622	. . . 4 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
46	4, 5, 11, 44, 45	cidfval 16337	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> ( Id ` C ) = ( x e. ( Base ` C ) |-> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` C ) x ) A. y e. ( Base ` C ) ( A. f e. ( y ( Hom ` C ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` C ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` C ) y ) g ) = f ) ) ) )
47		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
48		catpropd.3	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. V )
49		catpropd.4	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. W )
50	1, 14, 48, 49	catpropd 16369	. . . . 5 |- ( ph -> ( C e. Cat <-> D e. Cat ) )
51	50	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> D e. Cat )
52		eqid 2622	. . . 4 |- ( Id ` D ) = ( Id ` D )
53	47, 6, 12, 51, 52	cidfval 16337	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> ( Id ` D ) = ( x e. ( Base ` D ) |-> ( iota_ g e. ( x ( Hom ` D ) x ) A. y e. ( Base ` D ) ( A. f e. ( y ( Hom ` D ) x ) ( g ( <. y , x >. (comp ` D ) x ) f ) = f /\ A. f e. ( x ( Hom ` D ) y ) ( f ( <. x , x >. (comp ` D ) y ) g ) = f ) ) ) )
54	43, 46, 53	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ C e. Cat ) -> ( Id ` C ) = ( Id ` D ) )
55		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. C e. Cat ) -> -. C e. Cat )
56		cidffn 16339	. . . . . . 7 |- Id Fn Cat
57		fndm 5990	. . . . . . 7 |- ( Id Fn Cat -> dom Id = Cat )
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . 6 |- dom Id = Cat
59	58	eleq2i 2693	. . . . 5 |- ( C e. dom Id <-> C e. Cat )
60	55, 59	sylnibr 319	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. Cat ) -> -. C e. dom Id )
61		ndmfv 6218	. . . 4 |- ( -. C e. dom Id -> ( Id ` C ) = (/) )
62	60, 61	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. Cat ) -> ( Id ` C ) = (/) )
63	58	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( D e. dom Id <-> D e. Cat )
64	50, 63	syl6bbr 278	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C e. Cat <-> D e. dom Id ) )
65	64	notbid 308	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. C e. Cat <-> -. D e. dom Id ) )
66	65	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. Cat ) -> -. D e. dom Id )
67		ndmfv 6218	. . . 4 |- ( -. D e. dom Id -> ( Id ` D ) = (/) )
68	66, 67	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. Cat ) -> ( Id ` D ) = (/) )
69	62, 68	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ph /\ -. C e. Cat ) -> ( Id ` C ) = ( Id ` D ) )
70	54, 69	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( Id ` C ) = ( Id ` D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   (/)c0 3915   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326   Hom _f chomf 16327  comp_fccomf 16328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-cat 16329  df-cid 16330  df-homf 16331  df-comf 16332

This theorem is referenced by:  funcpropd  16560  curfpropd  16873