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Theorem clsun 32323
Description: A pairwise union of closures is the closure of the union. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
clsun.1 |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
clsun |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) )
Proof of Theorem clsun
StepHypRef Expression
1 difundi 3879 . . . . . 6 |- ( X \ ( A u. B ) ) = ( ( X \ A ) i^i ( X \ B ) )
21fveq2i 6194 . . . . 5 |- ( ( int ` J ) ` ( X \ ( A u. B ) ) ) = ( ( int ` J ) ` ( ( X \ A ) i^i ( X \ B ) ) )
3 difss 3737 . . . . . . 7 |- ( X \ A ) C_ X
4 difss 3737 . . . . . . 7 |- ( X \ B ) C_ X
5 clsun.1 . . . . . . . 8 |- X = U. J
65ntrin 20865 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( X \ A ) C_ X /\ ( X \ B ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( ( X \ A ) i^i ( X \ B ) ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) )
73, 4, 6mp3an23 1416 . . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( ( int ` J ) ` ( ( X \ A ) i^i ( X \ B ) ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) )
873ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( ( X \ A ) i^i ( X \ B ) ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) )
92, 8syl5eq 2668 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( A u. B ) ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) )
10 simp1 1061 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> J e. Top )
11 unss 3787 . . . . . . 7 |- ( ( A C_ X /\ B C_ X ) <-> ( A u. B ) C_ X )
1211biimpi 206 . . . . . 6 |- ( ( A C_ X /\ B C_ X ) -> ( A u. B ) C_ X )
13123adant1 1079 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( A u. B ) C_ X )
145ntrdif 20856 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( A u. B ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( A u. B ) ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) )
1510, 13, 14syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( A u. B ) ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) )
165ntrdif 20856 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
17163adant3 1081 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
185ntrdif 20856 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` B ) ) )
19183adant2 1080 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) = ( X \ ( ( cls ` J ) ` B ) ) )
2017, 19ineq12d 3815 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) = ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) i^i ( X \ ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) )
21 difundi 3879 . . . . 5 |- ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) = ( ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) i^i ( X \ ( ( cls ` J ) ` B ) ) )
2220, 21syl6eqr 2674 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ A ) ) i^i ( ( int ` J ) ` ( X \ B ) ) ) = ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) )
239, 15, 223eqtr3d 2664 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) = ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) )
2423difeq2d 3728 . 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( X \ ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) ) = ( X \ ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) ) )
255clscld 20851 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( A u. B ) C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) e. ( Clsd ` J ) )
2610, 13, 25syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) e. ( Clsd ` J ) )
275cldss 20833 . . . 4 |- ( ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) C_ X )
2826, 27syl 17 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) C_ X )
29 dfss4 3858 . . 3 |- ( ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) C_ X <-> ( X \ ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) ) = ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) )
3028, 29sylib 208 . 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( X \ ( X \ ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) ) ) = ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) )
315clsss3 20863 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X )
32313adant3 1081 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X )
335clsss3 20863 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` B ) C_ X )
34333adant2 1080 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` B ) C_ X )
3532, 34jca 554 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X /\ ( ( cls ` J ) ` B ) C_ X ) )
36 unss 3787 . . . 4 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X /\ ( ( cls ` J ) ` B ) C_ X ) <-> ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) C_ X )
37 dfss4 3858 . . . 4 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) C_ X <-> ( X \ ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) )
3836, 37bitri 264 . . 3 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X /\ ( ( cls ` J ) ` B ) C_ X ) <-> ( X \ ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) )
3935, 38sylib 208 . 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( X \ ( X \ ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) )
4024, 30, 393eqtr3d 2664 1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( A u. B ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` A ) u. ( ( cls ` J ) ` B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698   Clsdccld 20820   intcnt 20821   clsccl 20822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825
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