Theorem cnmptcom 21481

Description: The argument converse of a continuous function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptcom.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmptcom.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmptcom.6	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmptcom	|- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) )

Distinct variable groups:   x, y, L   x, X, y   ph, x, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem cnmptcom

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptcom.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		cnmptcom.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		txtopon 21394	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
5		cnmptcom.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
6		cntop2 21045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) -> L e. Top )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. Top )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. L = U. L
9	8	toptopon 20722	. . . . . . . . 9 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
10	7, 9	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
11		cnf2 21053	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
12	4, 10, 5, 11	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
13		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A )
14	13	fmpt2 7237	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L )
15		ralcom 3098	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L )
16	14, 15	bitr3i 266	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L <-> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L )
17	12, 16	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L )
18		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( y e. Y , x e. X |-> A )
19	18	fmpt2 7237	. . . . . 6 |- ( A. y e. Y A. x e. X A e. U. L <-> ( y e. Y , x e. X |-> A ) : ( Y X. X ) --> U. L )
20	17, 19	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) : ( Y X. X ) --> U. L )
21		ffn 6045	. . . . 5 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> A ) : ( Y X. X ) --> U. L -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) Fn ( Y X. X ) )
22	20, 21	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) Fn ( Y X. X ) )
23		fnov 6768	. . . 4 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> A ) Fn ( Y X. X ) <-> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
24	22, 23	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
25		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y z
26		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x z
27		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x w
28		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ y ph
29		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y x
30		nfmpt22 6723	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> A )
31	29, 30, 25	nfov 6676	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z )
32		nfmpt21 6722	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( y e. Y , x e. X |-> A )
33	25, 32, 29	nfov 6676	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x )
34	31, 33	nfeq 2776	. . . . . . . 8 |- F/ y ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x )
35	28, 34	nfim 1825	. . . . . . 7 |- F/ y ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) )
36		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
37		nfmpt21 6722	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> A )
38	27, 37, 26	nfov 6676	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z )
39		nfmpt22 6723	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( y e. Y , x e. X |-> A )
40	26, 39, 27	nfov 6676	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w )
41	38, 40	nfeq 2776	. . . . . . . 8 |- F/ x ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w )
42	36, 41	nfim 1825	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) )
43		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) )
44		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) )
45	43, 44	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) <-> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) )
46	45	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) <-> ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) ) )
47		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) )
48		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) )
49	47, 48	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) <-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
50	49	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) <-> ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) ) )
51		rsp2 2936	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. Y A. x e. X A e. U. L -> ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> A e. U. L ) )
52	51, 17	syl11 33	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( ph -> A e. U. L ) )
53	13	ovmpt4g 6783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
54	53	3com12 1269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A )
55	18	ovmpt4g 6783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = A )
56	54, 55	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) )
57	56	3expia 1267	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( A e. U. L -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) )
58	52, 57	syld 47	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) )
59	25, 26, 27, 35, 42, 46, 50, 58	vtocl2gaf 3273	. . . . . 6 |- ( ( z e. Y /\ w e. X ) -> ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
60	59	com12 32	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. Y /\ w e. X ) -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
61	60	3impib 1262	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. Y /\ w e. X ) -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) )
62	61	mpt2eq3dva 6719	. . 3 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) )
63	24, 62	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) )
64	2, 1	cnmpt2nd 21472	. . 3 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> w ) e. ( ( K tX J ) Cn J ) )
65	2, 1	cnmpt1st 21471	. . 3 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> z ) e. ( ( K tX J ) Cn K ) )
66	2, 1, 64, 65, 5	cnmpt22f 21478	. 2 |- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) )
67	63, 66	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   U.cuni 4436   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-tx 21365

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