Theorem cnt1 21154

Description: The preimage of a T₁ topology under an injective map is T₁. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnt1	|- ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Fre )

Proof of Theorem cnt1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 21044	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
2	1	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Top )
3		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. J = U. J
4		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. K = U. K
5	3, 4	cnf 21050	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
6	5	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : U. J --> U. K )
7		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( F : U. J --> U. K -> F Fn U. J )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F Fn U. J )
9		fnsnfv 6258	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn U. J /\ x e. U. J ) -> { ( F ` x ) } = ( F " { x } ) )
10	8, 9	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. U. J ) -> { ( F ` x ) } = ( F " { x } ) )
11	10	imaeq2d 5466	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. U. J ) -> ( `' F " { ( F ` x ) } ) = ( `' F " ( F " { x } ) ) )
12		simpl2 1065	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. U. J ) -> F : X -1-1-> Y )
13		fdm 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : U. J --> U. K -> dom F = U. J )
14	6, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> dom F = U. J )
15		f1dm 6105	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : X -1-1-> Y -> dom F = X )
16	15	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> dom F = X )
17	14, 16	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> U. J = X )
18	17	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. U. J <-> x e. X ) )
19	18	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. U. J ) -> x e. X )
20	19	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. U. J ) -> { x } C_ X )
21		f1imacnv 6153	. . . . . 6 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ { x } C_ X ) -> ( `' F " ( F " { x } ) ) = { x } )
22	12, 20, 21	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. U. J ) -> ( `' F " ( F " { x } ) ) = { x } )
23	11, 22	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. U. J ) -> ( `' F " { ( F ` x ) } ) = { x } )
24		simpl3 1066	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. U. J ) -> F e. ( J Cn K ) )
25		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. U. J ) -> K e. Fre )
26	6	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. U. J ) -> ( F ` x ) e. U. K )
27	4	t1sncld 21130	. . . . . 6 |- ( ( K e. Fre /\ ( F ` x ) e. U. K ) -> { ( F ` x ) } e. ( Clsd ` K ) )
28	25, 26, 27	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. U. J ) -> { ( F ` x ) } e. ( Clsd ` K ) )
29		cnclima 21072	. . . . 5 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ { ( F ` x ) } e. ( Clsd ` K ) ) -> ( `' F " { ( F ` x ) } ) e. ( Clsd ` J ) )
30	24, 28, 29	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. U. J ) -> ( `' F " { ( F ` x ) } ) e. ( Clsd ` J ) )
31	23, 30	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. U. J ) -> { x } e. ( Clsd ` J ) )
32	31	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. x e. U. J { x } e. ( Clsd ` J ) )
33	3	ist1 21125	. 2 |- ( J e. Fre <-> ( J e. Top /\ A. x e. U. J { x } e. ( Clsd ` J ) ) )
34	2, 32, 33	sylanbrc 698	1 |- ( ( K e. Fre /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Fre )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028   Frect1 21111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-cn 21031  df-t1 21118

This theorem is referenced by:  restt1  21171  sst1  21178  t1hmph  21594