Theorem cntop1 21044

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop1	|- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )

Proof of Theorem cntop1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- U. J = U. J
2		eqid 2622	. . . 4 |- U. K = U. K
3	1, 2	iscn2 21042	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( F : U. J --> U. K /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
4	3	simplbi 476	. 2 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
5	4	simpld 475	1 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884  (class class class)co 6650   Topctop 20698   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  cnco  21070  cnclima  21072  cnntri  21075  cnclsi  21076  cnss2  21081  cncnpi  21082  cncnp2  21085  cnrest  21089  cnrest2  21090  cnrest2r  21091  lmcn  21109  cnt0  21150  cnt1  21154  cnhaus  21158  kgen2cn  21362  txcnmpt  21427  uptx  21428  txcn  21429  xkoco1cn  21460  xkoco2cn  21461  xkococnlem  21462  cnmpt21f  21475  qtopss  21518  qtopomap  21521  qtopcmap  21522  hmeofval  21561  hmeof1o  21567  hmeores  21574  hmphen  21588  txhmeo  21606  htpyco2  22778  hauseqcn  29941  cnmbfm  30325  hausgraph  37790  rfcnpre1  39178  fcnre  39184