Theorem ist1-3 21153

Description: A space is T₁ iff every point is the only point in the intersection of all open sets containing that point. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ist1-3	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Fre <-> A. x e. X |^| { o e. J | x e. o } = { x } ) )

Distinct variable groups:   x, o, J   o, X, x

Proof of Theorem ist1-3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ist1-2 21151	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Fre <-> A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) ) )
2		toponmax 20730	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
3		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( o = X -> ( x e. o <-> x e. X ) )
4	3	intminss 4503	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. J /\ x e. X ) -> |^| { o e. J | x e. o } C_ X )
5	2, 4	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x e. X ) -> |^| { o e. J | x e. o } C_ X )
6	5	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x e. X ) /\ y e. |^| { o e. J | x e. o } ) -> y e. X )
7		biimt 350	. . . . . 6 |- ( y e. X -> ( y e. { x } <-> ( y e. X -> y e. { x } ) ) )
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x e. X ) /\ y e. |^| { o e. J | x e. o } ) -> ( y e. { x } <-> ( y e. X -> y e. { x } ) ) )
9	8	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x e. X ) -> ( A. y e. |^| { o e. J | x e. o } y e. { x } <-> A. y e. |^| { o e. J | x e. o } ( y e. X -> y e. { x } ) ) )
10		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( x e. o -> x e. o )
11	10	rgenw 2924	. . . . . . . 8 |- A. o e. J ( x e. o -> x e. o )
12		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
13	12	elintrab 4488	. . . . . . . 8 |- ( x e. |^| { o e. J | x e. o } <-> A. o e. J ( x e. o -> x e. o ) )
14	11, 13	mpbir 221	. . . . . . 7 |- x e. |^| { o e. J | x e. o }
15		snssi 4339	. . . . . . 7 |- ( x e. |^| { o e. J | x e. o } -> { x } C_ |^| { o e. J | x e. o } )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { x } C_ |^| { o e. J | x e. o }
17		eqss 3618	. . . . . 6 |- ( |^| { o e. J | x e. o } = { x } <-> ( |^| { o e. J | x e. o } C_ { x } /\ { x } C_ |^| { o e. J | x e. o } ) )
18	16, 17	mpbiran2 954	. . . . 5 |- ( |^| { o e. J | x e. o } = { x } <-> |^| { o e. J | x e. o } C_ { x } )
19		dfss3 3592	. . . . 5 |- ( |^| { o e. J | x e. o } C_ { x } <-> A. y e. |^| { o e. J | x e. o } y e. { x } )
20	18, 19	bitri 264	. . . 4 |- ( |^| { o e. J | x e. o } = { x } <-> A. y e. |^| { o e. J | x e. o } y e. { x } )
21		vex 3203	. . . . . . . 8 |- y e. _V
22	21	elintrab 4488	. . . . . . 7 |- ( y e. |^| { o e. J | x e. o } <-> A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) )
23		velsn 4193	. . . . . . . 8 |- ( y e. { x } <-> y = x )
24		equcom 1945	. . . . . . . 8 |- ( y = x <-> x = y )
25	23, 24	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( y e. { x } <-> x = y )
26	22, 25	imbi12i 340	. . . . . 6 |- ( ( y e. |^| { o e. J | x e. o } -> y e. { x } ) <-> ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) )
27	26	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. y e. X ( y e. |^| { o e. J | x e. o } -> y e. { x } ) <-> A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) )
28		ralcom3 3105	. . . . 5 |- ( A. y e. X ( y e. |^| { o e. J | x e. o } -> y e. { x } ) <-> A. y e. |^| { o e. J | x e. o } ( y e. X -> y e. { x } ) )
29	27, 28	bitr3i 266	. . . 4 |- ( A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) <-> A. y e. |^| { o e. J | x e. o } ( y e. X -> y e. { x } ) )
30	9, 20, 29	3bitr4g 303	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ x e. X ) -> ( |^| { o e. J | x e. o } = { x } <-> A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) ) )
31	30	ralbidva 2985	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. X |^| { o e. J | x e. o } = { x } <-> A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o -> y e. o ) -> x = y ) ) )
32	1, 31	bitr4d 271	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Fre <-> A. x e. X |^| { o e. J | x e. o } = { x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   {csn 4177   |^|cint 4475   ` cfv 5888  TopOnctopon 20715   Frect1 21111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-t1 21118

This theorem is referenced by: (None)