Theorem strlemor1OLD 15969

Description: Add one element to the end of a structure. Obsolete as of 26-Nov-2021. See comment of strlemor0OLD 15968. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
strlemor.f	|- ( Fun `' `' F /\ dom F C_ ( 1 ... I ) )
strlemor.i	|- I e. NN0
strlemor.o	|- I < J
strlemor.j	|- J e. NN
strlemor.a	|- A = J
strlemor1.g	|- G = ( F u. { <. A , X >. } )

Assertion

Ref	Expression
strlemor1OLD	|- ( Fun `' `' G /\ dom G C_ ( 1 ... J ) )

Proof of Theorem strlemor1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strlemor.f	. . . . . 6 |- ( Fun `' `' F /\ dom F C_ ( 1 ... I ) )
2	1	simpli 474	. . . . 5 |- Fun `' `' F
3		funcnvsn 5936	. . . . 5 |- Fun `' { <. X , J >. }
4	2, 3	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( Fun `' `' F /\ Fun `' { <. X , J >. } )
5		cnvcnvss 5589	. . . . . . 7 |- `' `' F C_ F
6		dmss 5323	. . . . . . 7 |- ( `' `' F C_ F -> dom `' `' F C_ dom F )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- dom `' `' F C_ dom F
8		cnvcnvsn 5612	. . . . . . . . 9 |- `' `' { <. J , X >. } = `' { <. X , J >. }
9		cnvcnvss 5589	. . . . . . . . 9 |- `' `' { <. J , X >. } C_ { <. J , X >. }
10	8, 9	eqsstr3i 3636	. . . . . . . 8 |- `' { <. X , J >. } C_ { <. J , X >. }
11		dmss 5323	. . . . . . . 8 |- ( `' { <. X , J >. } C_ { <. J , X >. } -> dom `' { <. X , J >. } C_ dom { <. J , X >. } )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom `' { <. X , J >. } C_ dom { <. J , X >. }
13		dmsnopss 5607	. . . . . . 7 |- dom { <. J , X >. } C_ { J }
14	12, 13	sstri 3612	. . . . . 6 |- dom `' { <. X , J >. } C_ { J }
15		ss2in 3840	. . . . . 6 |- ( ( dom `' `' F C_ dom F /\ dom `' { <. X , J >. } C_ { J } ) -> ( dom `' `' F i^i dom `' { <. X , J >. } ) C_ ( dom F i^i { J } ) )
16	7, 14, 15	mp2an 708	. . . . 5 |- ( dom `' `' F i^i dom `' { <. X , J >. } ) C_ ( dom F i^i { J } )
17		strlemor.o	. . . . . . . . 9 |- I < J
18		strlemor.i	. . . . . . . . . . 11 |- I e. NN0
19	18	nn0rei 11303	. . . . . . . . . 10 |- I e. RR
20		strlemor.j	. . . . . . . . . . 11 |- J e. NN
21	20	nnrei 11029	. . . . . . . . . 10 |- J e. RR
22	19, 21	ltnlei 10158	. . . . . . . . 9 |- ( I < J <-> -. J <_ I )
23	17, 22	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- -. J <_ I
24		elfzle2 12345	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( 1 ... I ) -> J <_ I )
25	23, 24	mto 188	. . . . . . 7 |- -. J e. ( 1 ... I )
26	1	simpri 478	. . . . . . . 8 |- dom F C_ ( 1 ... I )
27	26	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( J e. dom F -> J e. ( 1 ... I ) )
28	25, 27	mto 188	. . . . . 6 |- -. J e. dom F
29		disjsn 4246	. . . . . 6 |- ( ( dom F i^i { J } ) = (/) <-> -. J e. dom F )
30	28, 29	mpbir 221	. . . . 5 |- ( dom F i^i { J } ) = (/)
31		sseq0 3975	. . . . 5 |- ( ( ( dom `' `' F i^i dom `' { <. X , J >. } ) C_ ( dom F i^i { J } ) /\ ( dom F i^i { J } ) = (/) ) -> ( dom `' `' F i^i dom `' { <. X , J >. } ) = (/) )
32	16, 30, 31	mp2an 708	. . . 4 |- ( dom `' `' F i^i dom `' { <. X , J >. } ) = (/)
33		funun 5932	. . . 4 |- ( ( ( Fun `' `' F /\ Fun `' { <. X , J >. } ) /\ ( dom `' `' F i^i dom `' { <. X , J >. } ) = (/) ) -> Fun ( `' `' F u. `' { <. X , J >. } ) )
34	4, 32, 33	mp2an 708	. . 3 |- Fun ( `' `' F u. `' { <. X , J >. } )
35		strlemor1.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( F u. { <. A , X >. } )
36		strlemor.a	. . . . . . . . . . . 12 |- A = J
37	36	opeq1i 4405	. . . . . . . . . . 11 |- <. A , X >. = <. J , X >.
38	37	sneqi 4188	. . . . . . . . . 10 |- { <. A , X >. } = { <. J , X >. }
39	38	uneq2i 3764	. . . . . . . . 9 |- ( F u. { <. A , X >. } ) = ( F u. { <. J , X >. } )
40	35, 39	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- G = ( F u. { <. J , X >. } )
41	40	cnveqi 5297	. . . . . . 7 |- `' G = `' ( F u. { <. J , X >. } )
42		cnvun 5538	. . . . . . 7 |- `' ( F u. { <. J , X >. } ) = ( `' F u. `' { <. J , X >. } )
43	41, 42	eqtri 2644	. . . . . 6 |- `' G = ( `' F u. `' { <. J , X >. } )
44	43	cnveqi 5297	. . . . 5 |- `' `' G = `' ( `' F u. `' { <. J , X >. } )
45		cnvun 5538	. . . . . 6 |- `' ( `' F u. `' { <. J , X >. } ) = ( `' `' F u. `' `' { <. J , X >. } )
46	8	uneq2i 3764	. . . . . 6 |- ( `' `' F u. `' `' { <. J , X >. } ) = ( `' `' F u. `' { <. X , J >. } )
47	45, 46	eqtri 2644	. . . . 5 |- `' ( `' F u. `' { <. J , X >. } ) = ( `' `' F u. `' { <. X , J >. } )
48	44, 47	eqtri 2644	. . . 4 |- `' `' G = ( `' `' F u. `' { <. X , J >. } )
49	48	funeqi 5909	. . 3 |- ( Fun `' `' G <-> Fun ( `' `' F u. `' { <. X , J >. } ) )
50	34, 49	mpbir 221	. 2 |- Fun `' `' G
51	40	dmeqi 5325	. . . 4 |- dom G = dom ( F u. { <. J , X >. } )
52		dmun 5331	. . . 4 |- dom ( F u. { <. J , X >. } ) = ( dom F u. dom { <. J , X >. } )
53	51, 52	eqtri 2644	. . 3 |- dom G = ( dom F u. dom { <. J , X >. } )
54	18	nn0zi 11402	. . . . . . 7 |- I e. ZZ
55	20	nnzi 11401	. . . . . . 7 |- J e. ZZ
56	19, 21, 17	ltleii 10160	. . . . . . 7 |- I <_ J
57		eluz2 11693	. . . . . . 7 |- ( J e. ( ZZ>= ` I ) <-> ( I e. ZZ /\ J e. ZZ /\ I <_ J ) )
58	54, 55, 56, 57	mpbir3an 1244	. . . . . 6 |- J e. ( ZZ>= ` I )
59		fzss2 12381	. . . . . 6 |- ( J e. ( ZZ>= ` I ) -> ( 1 ... I ) C_ ( 1 ... J ) )
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 1 ... I ) C_ ( 1 ... J )
61	26, 60	sstri 3612	. . . 4 |- dom F C_ ( 1 ... J )
62		elfz1end 12371	. . . . . . 7 |- ( J e. NN <-> J e. ( 1 ... J ) )
63	20, 62	mpbi 220	. . . . . 6 |- J e. ( 1 ... J )
64		snssi 4339	. . . . . 6 |- ( J e. ( 1 ... J ) -> { J } C_ ( 1 ... J ) )
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . 5 |- { J } C_ ( 1 ... J )
66	13, 65	sstri 3612	. . . 4 |- dom { <. J , X >. } C_ ( 1 ... J )
67	61, 66	unssi 3788	. . 3 |- ( dom F u. dom { <. J , X >. } ) C_ ( 1 ... J )
68	53, 67	eqsstri 3635	. 2 |- dom G C_ ( 1 ... J )
69	50, 68	pm3.2i 471	1 |- ( Fun `' `' G /\ dom G C_ ( 1 ... J ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  strlemor2OLD  15970  strlemor3OLD  15971