Theorem curf 33387

Description: Functional property of currying. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
curf	|- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ B e. ( V \ { (/) } ) /\ C e. W ) -> curry F : A --> ( C ^m B ) )

Proof of Theorem curf

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5148	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> <. x , y >. e. ( A X. B ) )
2		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ <. x , y >. e. ( A X. B ) ) -> ( F ` <. x , y >. ) e. C )
3	1, 2	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( F ` <. x , y >. ) e. C )
4	3	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( F ` <. x , y >. ) e. C )
5		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) = ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) )
6	4, 5	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ x e. A ) -> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) : B --> C )
7	6	3ad2antl1 1223	. . . 4 |- ( ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ B e. ( V \ { (/) } ) /\ C e. W ) /\ x e. A ) -> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) : B --> C )
8		elmapg 7870	. . . . . . 7 |- ( ( C e. W /\ B e. ( V \ { (/) } ) ) -> ( ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) e. ( C ^m B ) <-> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) : B --> C ) )
9	8	ancoms 469	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( V \ { (/) } ) /\ C e. W ) -> ( ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) e. ( C ^m B ) <-> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) : B --> C ) )
10	9	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ B e. ( V \ { (/) } ) /\ C e. W ) -> ( ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) e. ( C ^m B ) <-> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) : B --> C ) )
11	10	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ B e. ( V \ { (/) } ) /\ C e. W ) /\ x e. A ) -> ( ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) e. ( C ^m B ) <-> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) : B --> C ) )
12	7, 11	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ B e. ( V \ { (/) } ) /\ C e. W ) /\ x e. A ) -> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) e. ( C ^m B ) )
13		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. A |-> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) ) = ( x e. A |-> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) )
14	12, 13	fmptd 6385	. 2 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ B e. ( V \ { (/) } ) /\ C e. W ) -> ( x e. A |-> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) ) : A --> ( C ^m B ) )
15		eldifsni 4320	. . . 4 |- ( B e. ( V \ { (/) } ) -> B =/= (/) )
16		df-cur 7393	. . . . . 6 |- curry F = ( x e. dom dom F |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } )
17		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( A X. B ) --> C -> dom F = ( A X. B ) )
18	17	dmeqd 5326	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( A X. B ) --> C -> dom dom F = dom ( A X. B ) )
19		dmxp 5344	. . . . . . . . 9 |- ( B =/= (/) -> dom ( A X. B ) = A )
20	18, 19	sylan9eq 2676	. . . . . . . 8 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ B =/= (/) ) -> dom dom F = A )
21	20	mpteq1d 4738	. . . . . . 7 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ B =/= (/) ) -> ( x e. dom dom F |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } ) = ( x e. A |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } ) )
22		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : ( A X. B ) --> C -> Fun F )
23		funbrfv2b 6240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun F -> ( <. x , y >. F z <-> ( <. x , y >. e. dom F /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : ( A X. B ) --> C -> ( <. x , y >. F z <-> ( <. x , y >. e. dom F /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
25	17	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : ( A X. B ) --> C -> ( <. x , y >. e. dom F <-> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
26		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
27	25, 26	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : ( A X. B ) --> C -> ( <. x , y >. e. dom F <-> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
28	27	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : ( A X. B ) --> C -> ( ( <. x , y >. e. dom F /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
29	24, 28	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : ( A X. B ) --> C -> ( <. x , y >. F z <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) ) )
30		ibar 525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> ( ( y e. B /\ z = ( F ` <. x , y >. ) ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ z = ( F ` <. x , y >. ) ) ) ) )
31		anass 681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = ( F ` <. x , y >. ) ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ z = ( F ` <. x , y >. ) ) ) )
32		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` <. x , y >. ) <-> ( F ` <. x , y >. ) = z )
33	32	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = ( F ` <. x , y >. ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) )
34	31, 33	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ z = ( F ` <. x , y >. ) ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) )
35	30, 34	syl6rbb 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ( F ` <. x , y >. ) = z ) <-> ( y e. B /\ z = ( F ` <. x , y >. ) ) ) )
36	29, 35	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ x e. A ) -> ( <. x , y >. F z <-> ( y e. B /\ z = ( F ` <. x , y >. ) ) ) )
37	36	opabbidv 4716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ x e. A ) -> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } = { <. y , z >. | ( y e. B /\ z = ( F ` <. x , y >. ) ) } )
38		df-mpt 4730	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) = { <. y , z >. | ( y e. B /\ z = ( F ` <. x , y >. ) ) }
39	37, 38	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ x e. A ) -> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } = ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) )
40	39	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( F : ( A X. B ) --> C -> ( x e. A |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } ) = ( x e. A |-> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) ) )
41	40	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ B =/= (/) ) -> ( x e. A |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } ) = ( x e. A |-> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) ) )
42	21, 41	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ B =/= (/) ) -> ( x e. dom dom F |-> { <. y , z >. | <. x , y >. F z } ) = ( x e. A |-> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) ) )
43	16, 42	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ B =/= (/) ) -> curry F = ( x e. A |-> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) ) )
44	43	feq1d 6030	. . . 4 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ B =/= (/) ) -> (curry F : A --> ( C ^m B ) <-> ( x e. A |-> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) ) : A --> ( C ^m B ) ) )
45	15, 44	sylan2 491	. . 3 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ B e. ( V \ { (/) } ) ) -> (curry F : A --> ( C ^m B ) <-> ( x e. A |-> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) ) : A --> ( C ^m B ) ) )
46	45	3adant3 1081	. 2 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ B e. ( V \ { (/) } ) /\ C e. W ) -> (curry F : A --> ( C ^m B ) <-> ( x e. A |-> ( y e. B |-> ( F ` <. x , y >. ) ) ) : A --> ( C ^m B ) ) )
47	14, 46	mpbird 247	1 |- ( ( F : ( A X. B ) --> C /\ B e. ( V \ { (/) } ) /\ C e. W ) -> curry F : A --> ( C ^m B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  curry ccur 7391   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-cur 7393  df-map 7859

This theorem is referenced by:  unccur  33392  matunitlindflem1  33405  matunitlindflem2  33406