Theorem uncf 33388

Description: Functional property of uncurrying. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uncf	|- ( F : A --> ( C ^m B ) -> uncurry F : ( A X. B ) --> C )

Proof of Theorem uncf

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 6357	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> ( C ^m B ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. ( C ^m B ) )
2		elmapi 7879	. . . . . 6 |- ( ( F ` x ) e. ( C ^m B ) -> ( F ` x ) : B --> C )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F : A --> ( C ^m B ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) : B --> C )
4	3	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> ( C ^m B ) /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( ( F ` x ) ` y ) e. C )
5	4	anasss 679	. . 3 |- ( ( F : A --> ( C ^m B ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( F ` x ) ` y ) e. C )
6	5	ralrimivva 2971	. 2 |- ( F : A --> ( C ^m B ) -> A. x e. A A. y e. B ( ( F ` x ) ` y ) e. C )
7		df-unc 7394	. . . . 5 |- uncurry F = { <. <. x , y >. , z >. | y ( F ` x ) z }
8		df-br 4654	. . . . . . . . . . 11 |- ( y ( F ` x ) z <-> <. y , z >. e. ( F ` x ) )
9		elfvdm 6220	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. y , z >. e. ( F ` x ) -> x e. dom F )
10	8, 9	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( y ( F ` x ) z -> x e. dom F )
11		fdm 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> ( C ^m B ) -> dom F = A )
12	11	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> ( C ^m B ) -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
13	10, 12	syl5ib 234	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> ( C ^m B ) -> ( y ( F ` x ) z -> x e. A ) )
14	13	pm4.71rd 667	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> ( C ^m B ) -> ( y ( F ` x ) z <-> ( x e. A /\ y ( F ` x ) z ) ) )
15		elmapfun 7881	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` x ) e. ( C ^m B ) -> Fun ( F ` x ) )
16		funbrfv2b 6240	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun ( F ` x ) -> ( y ( F ` x ) z <-> ( y e. dom ( F ` x ) /\ ( ( F ` x ) ` y ) = z ) ) )
17	1, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> ( C ^m B ) /\ x e. A ) -> ( y ( F ` x ) z <-> ( y e. dom ( F ` x ) /\ ( ( F ` x ) ` y ) = z ) ) )
18		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) : B --> C -> dom ( F ` x ) = B )
19	1, 2, 18	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> ( C ^m B ) /\ x e. A ) -> dom ( F ` x ) = B )
20	19	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> ( C ^m B ) /\ x e. A ) -> ( y e. dom ( F ` x ) <-> y e. B ) )
21		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) ` y ) = z <-> z = ( ( F ` x ) ` y ) )
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> ( C ^m B ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` x ) ` y ) = z <-> z = ( ( F ` x ) ` y ) ) )
23	20, 22	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> ( C ^m B ) /\ x e. A ) -> ( ( y e. dom ( F ` x ) /\ ( ( F ` x ) ` y ) = z ) <-> ( y e. B /\ z = ( ( F ` x ) ` y ) ) ) )
24	17, 23	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> ( C ^m B ) /\ x e. A ) -> ( y ( F ` x ) z <-> ( y e. B /\ z = ( ( F ` x ) ` y ) ) ) )
25	24	pm5.32da 673	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> ( C ^m B ) -> ( ( x e. A /\ y ( F ` x ) z ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ z = ( ( F ` x ) ` y ) ) ) ) )
26	14, 25	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( F : A --> ( C ^m B ) -> ( y ( F ` x ) z <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ z = ( ( F ` x ) ` y ) ) ) ) )
27		anass 681	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = ( ( F ` x ) ` y ) ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ z = ( ( F ` x ) ` y ) ) ) )
28	26, 27	syl6bbr 278	. . . . . 6 |- ( F : A --> ( C ^m B ) -> ( y ( F ` x ) z <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = ( ( F ` x ) ` y ) ) ) )
29	28	oprabbidv 6709	. . . . 5 |- ( F : A --> ( C ^m B ) -> { <. <. x , y >. , z >. | y ( F ` x ) z } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = ( ( F ` x ) ` y ) ) } )
30	7, 29	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( F : A --> ( C ^m B ) -> uncurry F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = ( ( F ` x ) ` y ) ) } )
31	30	feq1d 6030	. . 3 |- ( F : A --> ( C ^m B ) -> (uncurry F : ( A X. B ) --> C <-> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = ( ( F ` x ) ` y ) ) } : ( A X. B ) --> C ) )
32		df-mpt2 6655	. . . . 5 |- ( x e. A , y e. B |-> ( ( F ` x ) ` y ) ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = ( ( F ` x ) ` y ) ) }
33	32	eqcomi 2631	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = ( ( F ` x ) ` y ) ) } = ( x e. A , y e. B |-> ( ( F ` x ) ` y ) )
34	33	fmpt2 7237	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B ( ( F ` x ) ` y ) e. C <-> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = ( ( F ` x ) ` y ) ) } : ( A X. B ) --> C )
35	31, 34	syl6bbr 278	. 2 |- ( F : A --> ( C ^m B ) -> (uncurry F : ( A X. B ) --> C <-> A. x e. A A. y e. B ( ( F ` x ) ` y ) e. C ) )
36	6, 35	mpbird 247	1 |- ( F : A --> ( C ^m B ) -> uncurry F : ( A X. B ) --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   {coprab 6651   |-> cmpt2 6652  uncurry cunc 7392   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-unc 7394  df-map 7859

This theorem is referenced by:  curunc  33391  matunitlindflem2  33406