Theorem cusgrexi 26339

Description: An arbitrary set regarded as vertices together with the set of pairs of elements of this set regarded as edges is a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 5-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrexi.p	|- P = { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 }

Assertion

Ref	Expression
cusgrexi	|- ( V e. W -> <. V , ( _I |` P ) >. e. ComplUSGraph )

Distinct variable groups:   x, V   x, P   x, W

Proof of Theorem cusgrexi

Dummy variables e n v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexi.p	. . 3 |- P = { x e. ~P V | ( # ` x ) = 2 }
2	1	usgrexi 26337	. 2 |- ( V e. W -> <. V , ( _I |` P ) >. e. USGraph )
3	1	cusgrexilem1 26335	. . . . . . . . . 10 |- ( V e. W -> ( _I |` P ) e. _V )
4		opvtxfv 25884	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = V )
5	4	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> V = (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) )
6	3, 5	mpdan 702	. . . . . . . . 9 |- ( V e. W -> V = (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) )
7	6	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( V e. W -> ( v e. V <-> v e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) )
8	7	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> v e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) )
9		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( V \ { v } ) -> n e. V )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> n e. V )
11	3, 4	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( V e. W -> (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = V )
12	11	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( V e. W -> ( n e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) <-> n e. V ) )
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> ( n e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) <-> n e. V ) )
14	10, 13	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> n e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) )
15		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> v e. V )
16	11	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( V e. W -> ( v e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) <-> v e. V ) )
17	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> ( v e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) <-> v e. V ) )
18	15, 17	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> v e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) )
19	14, 18	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> ( n e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) /\ v e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) )
20		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( V \ { v } ) -> n =/= v )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> n =/= v )
22	1	cusgrexilem2 26338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> E. e e. ran ( _I |` P ) { v , n } C_ e )
23		edgval 25941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = ran (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. )
24		opiedgfv 25887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. W /\ ( _I |` P ) e. _V ) -> (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = ( _I |` P ) )
25	3, 24	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( V e. W -> (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = ( _I |` P ) )
26	25	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( V e. W -> ran (iEdg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = ran ( _I |` P ) )
27	23, 26	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( V e. W -> (Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = ran ( _I |` P ) )
28	27	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V e. W -> ( E. e e. (Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) { v , n } C_ e <-> E. e e. ran ( _I |` P ) { v , n } C_ e ) )
29	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> ( E. e e. (Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) { v , n } C_ e <-> E. e e. ran ( _I |` P ) { v , n } C_ e ) )
30	22, 29	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> E. e e. (Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) { v , n } C_ e )
31		opex 4932	. . . . . . . . . . 11 |- <. V , ( _I |` P ) >. e. _V
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = (Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. )
34	32, 33	nbgrel 26238	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. V , ( _I |` P ) >. e. _V -> ( n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) <-> ( ( n e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) /\ v e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) /\ n =/= v /\ E. e e. (Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) { v , n } C_ e ) ) )
35	31, 34	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> ( n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) <-> ( ( n e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) /\ v e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) /\ n =/= v /\ E. e e. (Edg ` <. V , ( _I |` P ) >. ) { v , n } C_ e ) ) )
36	19, 21, 30, 35	mpbir3and 1245	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( V e. W /\ v e. V ) /\ n e. ( V \ { v } ) ) -> n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) )
37	36	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) )
38	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) = V )
39	38	difeq1d 3727	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> ( (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) \ { v } ) = ( V \ { v } ) )
40	39	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> ( A. n e. ( (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) \ { v } ) n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) <-> A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) ) )
41	37, 40	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> A. n e. ( (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) \ { v } ) n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) )
42	8, 41	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> ( v e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) /\ A. n e. ( (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) \ { v } ) n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) ) )
43	32	uvtxael 26288	. . . . . . 7 |- ( <. V , ( _I |` P ) >. e. _V -> ( v e. (UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) <-> ( v e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) /\ A. n e. ( (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) \ { v } ) n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) ) ) )
44	31, 43	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> ( v e. (UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) <-> ( v e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) /\ A. n e. ( (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) \ { v } ) n e. ( <. V , ( _I |` P ) >. NeighbVtx v ) ) ) )
45	42, 44	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( V e. W /\ v e. V ) -> v e. (UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) )
46	45	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( V e. W -> A. v e. V v e. (UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) )
47	11	raleqdv 3144	. . . 4 |- ( V e. W -> ( A. v e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) v e. (UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) <-> A. v e. V v e. (UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) )
48	46, 47	mpbird 247	. . 3 |- ( V e. W -> A. v e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) v e. (UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) )
49	32	iscplgr 26310	. . . 4 |- ( <. V , ( _I |` P ) >. e. _V -> ( <. V , ( _I |` P ) >. e. ComplGraph <-> A. v e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) v e. (UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) )
50	31, 49	mp1i 13	. . 3 |- ( V e. W -> ( <. V , ( _I |` P ) >. e. ComplGraph <-> A. v e. (Vtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) v e. (UnivVtx ` <. V , ( _I |` P ) >. ) ) )
51	48, 50	mpbird 247	. 2 |- ( V e. W -> <. V , ( _I |` P ) >. e. ComplGraph )
52		iscusgr 26314	. 2 |- ( <. V , ( _I |` P ) >. e. ComplUSGraph <-> ( <. V , ( _I |` P ) >. e. USGraph /\ <. V , ( _I |` P ) >. e. ComplGraph ) )
53	2, 51, 52	sylanbrc 698	1 |- ( V e. W -> <. V , ( _I |` P ) >. e. ComplUSGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   _I cid 5023   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   2c2 11070   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044   NeighbVtx cnbgr 26224  UnivVtxcuvtxa 26225  ComplGraphccplgr 26226  ComplUSGraphccusgr 26227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-edg 25940  df-usgr 26046  df-nbgr 26228  df-uvtxa 26230  df-cplgr 26231  df-cusgr 26232

This theorem is referenced by:  cusgrexg  26340