Theorem dfac5lem1 8946

Description: Lemma for dfac5 8951. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dfac5lem1	|- ( E! v v e. ( ( { w } X. w ) i^i y ) <-> E! g ( g e. w /\ <. w , g >. e. y ) )

Distinct variable group:   w, v, y, g

Proof of Theorem dfac5lem1

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3796	. . . 4 |- ( v e. ( ( { w } X. w ) i^i y ) <-> ( v e. ( { w } X. w ) /\ v e. y ) )
2		elxp 5131	. . . . . 6 |- ( v e. ( { w } X. w ) <-> E. t E. g ( v = <. t , g >. /\ ( t e. { w } /\ g e. w ) ) )
3		excom 2042	. . . . . 6 |- ( E. t E. g ( v = <. t , g >. /\ ( t e. { w } /\ g e. w ) ) <-> E. g E. t ( v = <. t , g >. /\ ( t e. { w } /\ g e. w ) ) )
4	2, 3	bitri 264	. . . . 5 |- ( v e. ( { w } X. w ) <-> E. g E. t ( v = <. t , g >. /\ ( t e. { w } /\ g e. w ) ) )
5	4	anbi1i 731	. . . 4 |- ( ( v e. ( { w } X. w ) /\ v e. y ) <-> ( E. g E. t ( v = <. t , g >. /\ ( t e. { w } /\ g e. w ) ) /\ v e. y ) )
6		19.41vv 1915	. . . . 5 |- ( E. g E. t ( ( v = <. t , g >. /\ ( t e. { w } /\ g e. w ) ) /\ v e. y ) <-> ( E. g E. t ( v = <. t , g >. /\ ( t e. { w } /\ g e. w ) ) /\ v e. y ) )
7		an32 839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( v = <. t , g >. /\ ( t e. { w } /\ g e. w ) ) /\ v e. y ) <-> ( ( v = <. t , g >. /\ v e. y ) /\ ( t e. { w } /\ g e. w ) ) )
8		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = <. t , g >. -> ( v e. y <-> <. t , g >. e. y ) )
9	8	pm5.32i 669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v = <. t , g >. /\ v e. y ) <-> ( v = <. t , g >. /\ <. t , g >. e. y ) )
10		velsn 4193	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. { w } <-> t = w )
11	10	anbi1i 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. { w } /\ g e. w ) <-> ( t = w /\ g e. w ) )
12	9, 11	anbi12i 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( v = <. t , g >. /\ v e. y ) /\ ( t e. { w } /\ g e. w ) ) <-> ( ( v = <. t , g >. /\ <. t , g >. e. y ) /\ ( t = w /\ g e. w ) ) )
13		an4 865	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( v = <. t , g >. /\ <. t , g >. e. y ) /\ ( t = w /\ g e. w ) ) <-> ( ( v = <. t , g >. /\ t = w ) /\ ( <. t , g >. e. y /\ g e. w ) ) )
14		ancom 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = <. t , g >. /\ t = w ) <-> ( t = w /\ v = <. t , g >. ) )
15		ancom 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( <. t , g >. e. y /\ g e. w ) <-> ( g e. w /\ <. t , g >. e. y ) )
16	14, 15	anbi12i 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( v = <. t , g >. /\ t = w ) /\ ( <. t , g >. e. y /\ g e. w ) ) <-> ( ( t = w /\ v = <. t , g >. ) /\ ( g e. w /\ <. t , g >. e. y ) ) )
17		anass 681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( t = w /\ v = <. t , g >. ) /\ ( g e. w /\ <. t , g >. e. y ) ) <-> ( t = w /\ ( v = <. t , g >. /\ ( g e. w /\ <. t , g >. e. y ) ) ) )
18	13, 16, 17	3bitri 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( v = <. t , g >. /\ <. t , g >. e. y ) /\ ( t = w /\ g e. w ) ) <-> ( t = w /\ ( v = <. t , g >. /\ ( g e. w /\ <. t , g >. e. y ) ) ) )
19	7, 12, 18	3bitri 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( v = <. t , g >. /\ ( t e. { w } /\ g e. w ) ) /\ v e. y ) <-> ( t = w /\ ( v = <. t , g >. /\ ( g e. w /\ <. t , g >. e. y ) ) ) )
20	19	exbii 1774	. . . . . . 7 |- ( E. t ( ( v = <. t , g >. /\ ( t e. { w } /\ g e. w ) ) /\ v e. y ) <-> E. t ( t = w /\ ( v = <. t , g >. /\ ( g e. w /\ <. t , g >. e. y ) ) ) )
21		vex 3203	. . . . . . . 8 |- w e. _V
22		opeq1 4402	. . . . . . . . . 10 |- ( t = w -> <. t , g >. = <. w , g >. )
23	22	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( t = w -> ( v = <. t , g >. <-> v = <. w , g >. ) )
24	22	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( t = w -> ( <. t , g >. e. y <-> <. w , g >. e. y ) )
25	24	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( t = w -> ( ( g e. w /\ <. t , g >. e. y ) <-> ( g e. w /\ <. w , g >. e. y ) ) )
26	23, 25	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( t = w -> ( ( v = <. t , g >. /\ ( g e. w /\ <. t , g >. e. y ) ) <-> ( v = <. w , g >. /\ ( g e. w /\ <. w , g >. e. y ) ) ) )
27	21, 26	ceqsexv 3242	. . . . . . 7 |- ( E. t ( t = w /\ ( v = <. t , g >. /\ ( g e. w /\ <. t , g >. e. y ) ) ) <-> ( v = <. w , g >. /\ ( g e. w /\ <. w , g >. e. y ) ) )
28	20, 27	bitri 264	. . . . . 6 |- ( E. t ( ( v = <. t , g >. /\ ( t e. { w } /\ g e. w ) ) /\ v e. y ) <-> ( v = <. w , g >. /\ ( g e. w /\ <. w , g >. e. y ) ) )
29	28	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. g E. t ( ( v = <. t , g >. /\ ( t e. { w } /\ g e. w ) ) /\ v e. y ) <-> E. g ( v = <. w , g >. /\ ( g e. w /\ <. w , g >. e. y ) ) )
30	6, 29	bitr3i 266	. . . 4 |- ( ( E. g E. t ( v = <. t , g >. /\ ( t e. { w } /\ g e. w ) ) /\ v e. y ) <-> E. g ( v = <. w , g >. /\ ( g e. w /\ <. w , g >. e. y ) ) )
31	1, 5, 30	3bitri 286	. . 3 |- ( v e. ( ( { w } X. w ) i^i y ) <-> E. g ( v = <. w , g >. /\ ( g e. w /\ <. w , g >. e. y ) ) )
32	31	eubii 2492	. 2 |- ( E! v v e. ( ( { w } X. w ) i^i y ) <-> E! v E. g ( v = <. w , g >. /\ ( g e. w /\ <. w , g >. e. y ) ) )
33	21	euop2 4974	. 2 |- ( E! v E. g ( v = <. w , g >. /\ ( g e. w /\ <. w , g >. e. y ) ) <-> E! g ( g e. w /\ <. w , g >. e. y ) )
34	32, 33	bitri 264	1 |- ( E! v v e. ( ( { w } X. w ) i^i y ) <-> E! g ( g e. w /\ <. w , g >. e. y ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   i^i cin 3573   {csn 4177   <.cop 4183   X. cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-opab 4713  df-xp 5120

This theorem is referenced by:  dfac5lem5  8950