Theorem dfac4 8945

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The right-hand side is Axiom AC of [BellMachover] p. 488. The proof does not depend on AC. (Contributed by NM, 24-Mar-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac4	|- (CHOICE <-> A. x E. f ( f Fn x /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )

Distinct variable group:   x, f, z

Proof of Theorem dfac4

Dummy variables y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac3 8944	. 2 |- (CHOICE <-> A. x E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
2		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( f = y -> ( f ` z ) = ( y ` z ) )
3	2	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( f = y -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( y ` z ) e. z ) )
4	3	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( f = y -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( z =/= (/) -> ( y ` z ) e. z ) ) )
5	4	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( f = y -> ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. x ( z =/= (/) -> ( y ` z ) e. z ) ) )
6	5	cbvexv 2275	. . . . 5 |- ( E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> ( y ` z ) e. z ) )
7		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( y ` w ) e. _V
8		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( w e. x |-> ( y ` w ) ) = ( w e. x |-> ( y ` w ) )
9	7, 8	fnmpti 6022	. . . . . . . 8 |- ( w e. x |-> ( y ` w ) ) Fn x
10		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = z -> ( y ` w ) = ( y ` z ) )
11		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y ` z ) e. _V
12	10, 8, 11	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. x -> ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) ` z ) = ( y ` z ) )
13	12	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. x -> ( ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) ` z ) e. z <-> ( y ` z ) e. z ) )
14	13	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. x -> ( ( z =/= (/) -> ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) ` z ) e. z ) <-> ( z =/= (/) -> ( y ` z ) e. z ) ) )
15	14	ralbiia 2979	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) ` z ) e. z ) <-> A. z e. x ( z =/= (/) -> ( y ` z ) e. z ) )
16	15	anbi2i 730	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) Fn x /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) ` z ) e. z ) ) <-> ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) Fn x /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( y ` z ) e. z ) ) )
17	9, 16	mpbiran 953	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) Fn x /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) ` z ) e. z ) ) <-> A. z e. x ( z =/= (/) -> ( y ` z ) e. z ) )
18		fvrn0 6216	. . . . . . . . . . 11 |- ( y ` w ) e. ( ran y u. { (/) } )
19	18	rgenw 2924	. . . . . . . . . 10 |- A. w e. x ( y ` w ) e. ( ran y u. { (/) } )
20	8	fmpt 6381	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. x ( y ` w ) e. ( ran y u. { (/) } ) <-> ( w e. x |-> ( y ` w ) ) : x --> ( ran y u. { (/) } ) )
21	19, 20	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- ( w e. x |-> ( y ` w ) ) : x --> ( ran y u. { (/) } )
22		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
23		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
24	23	rnex 7100	. . . . . . . . . 10 |- ran y e. _V
25		p0ex 4853	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
26	24, 25	unex 6956	. . . . . . . . 9 |- ( ran y u. { (/) } ) e. _V
27		fex2 7121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) : x --> ( ran y u. { (/) } ) /\ x e. _V /\ ( ran y u. { (/) } ) e. _V ) -> ( w e. x |-> ( y ` w ) ) e. _V )
28	21, 22, 26, 27	mp3an 1424	. . . . . . . 8 |- ( w e. x |-> ( y ` w ) ) e. _V
29		fneq1 5979	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( w e. x |-> ( y ` w ) ) -> ( f Fn x <-> ( w e. x |-> ( y ` w ) ) Fn x ) )
30		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( w e. x |-> ( y ` w ) ) -> ( f ` z ) = ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) ` z ) )
31	30	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( w e. x |-> ( y ` w ) ) -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) ` z ) e. z ) )
32	31	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( w e. x |-> ( y ` w ) ) -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( z =/= (/) -> ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) ` z ) e. z ) ) )
33	32	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( w e. x |-> ( y ` w ) ) -> ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. x ( z =/= (/) -> ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) ` z ) e. z ) ) )
34	29, 33	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( f = ( w e. x |-> ( y ` w ) ) -> ( ( f Fn x /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) <-> ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) Fn x /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) ` z ) e. z ) ) ) )
35	28, 34	spcev 3300	. . . . . . 7 |- ( ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) Fn x /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( ( w e. x |-> ( y ` w ) ) ` z ) e. z ) ) -> E. f ( f Fn x /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
36	17, 35	sylbir 225	. . . . . 6 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( y ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn x /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
37	36	exlimiv 1858	. . . . 5 |- ( E. y A. z e. x ( z =/= (/) -> ( y ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn x /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
38	6, 37	sylbi 207	. . . 4 |- ( E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn x /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
39		exsimpr 1796	. . . 4 |- ( E. f ( f Fn x /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
40	38, 39	impbii 199	. . 3 |- ( E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> E. f ( f Fn x /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
41	40	albii 1747	. 2 |- ( A. x E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. x E. f ( f Fn x /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
42	1, 41	bitri 264	1 |- (CHOICE <-> A. x E. f ( f Fn x /\ A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  CHOICEwac 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  dfac5  8951  dfacacn  8963  ac5  9299