Theorem dfac5 8951

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The right-hand side is Theorem 6M(4) of [Enderton] p. 151 and asserts that given a family of mutually disjoint nonempty sets, a set exists containing exactly one member from each set in the family. The proof does not depend on AC. (Contributed by NM, 11-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac5	|- (CHOICE <-> A. x ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> E. y A. z e. x E! v v e. ( z i^i y ) ) )

Distinct variable group:   x, z, y, w, v

Proof of Theorem dfac5

Dummy variables f h u t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac4 8945	. . 3 |- (CHOICE <-> A. x E. f ( f Fn x /\ A. w e. x ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) ) )
2		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( z =/= (/) <-> w =/= (/) ) )
3	2	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. x z =/= (/) <-> A. w e. x w =/= (/) )
4	3	anbi2i 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. w e. x ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) /\ A. z e. x z =/= (/) ) <-> ( A. w e. x ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) /\ A. w e. x w =/= (/) ) )
5		r19.26 3064	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w e. x ( ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) /\ w =/= (/) ) <-> ( A. w e. x ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) /\ A. w e. x w =/= (/) ) )
6	4, 5	bitr4i 267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. w e. x ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) /\ A. z e. x z =/= (/) ) <-> A. w e. x ( ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) /\ w =/= (/) ) )
7		pm3.35 611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w =/= (/) /\ ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) ) -> ( f ` w ) e. w )
8	7	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) /\ w =/= (/) ) -> ( f ` w ) e. w )
9	8	ralimi 2952	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. x ( ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) /\ w =/= (/) ) -> A. w e. x ( f ` w ) e. w )
10	6, 9	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. w e. x ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) /\ A. z e. x z =/= (/) ) -> A. w e. x ( f ` w ) e. w )
11		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. w e. x ( ( f ` w ) e. w /\ ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) <-> ( A. w e. x ( f ` w ) e. w /\ A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) )
12		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v e. ( z i^i ran f ) <-> ( v e. z /\ v e. ran f ) )
13		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f Fn x -> ( v e. ran f <-> E. t e. x ( f ` t ) = v ) )
14	13	biimpac 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v e. ran f /\ f Fn x ) -> E. t e. x ( f ` t ) = v )
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w = t -> ( f ` w ) = ( f ` t ) )
16		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w = t -> w = t )
17	15, 16	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w = t -> ( ( f ` w ) e. w <-> ( f ` t ) e. t ) )
18		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w = t -> ( z =/= w <-> z =/= t ) )
19		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( w = t -> ( z i^i w ) = ( z i^i t ) )
20	19	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w = t -> ( ( z i^i w ) = (/) <-> ( z i^i t ) = (/) ) )
21	18, 20	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w = t -> ( ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) <-> ( z =/= t -> ( z i^i t ) = (/) ) ) )
22	17, 21	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( w = t -> ( ( ( f ` w ) e. w /\ ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) <-> ( ( f ` t ) e. t /\ ( z =/= t -> ( z i^i t ) = (/) ) ) ) )
23	22	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( t e. x -> ( A. w e. x ( ( f ` w ) e. w /\ ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> ( ( f ` t ) e. t /\ ( z =/= t -> ( z i^i t ) = (/) ) ) ) )
24		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( f ` t ) = v -> ( ( f ` t ) e. z <-> v e. z ) )
25	24	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( f ` t ) = v /\ v e. z ) -> ( f ` t ) e. z )
26		minel 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( f ` t ) e. t /\ ( z i^i t ) = (/) ) -> -. ( f ` t ) e. z )
27	26	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( f ` t ) e. t -> ( ( z i^i t ) = (/) -> -. ( f ` t ) e. z ) )
28	27	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( f ` t ) e. t -> ( ( z =/= t -> ( z i^i t ) = (/) ) -> ( z =/= t -> -. ( f ` t ) e. z ) ) )
29	28	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( f ` t ) e. t /\ ( z =/= t -> ( z i^i t ) = (/) ) ) -> ( z =/= t -> -. ( f ` t ) e. z ) )
30	29	necon4ad 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( f ` t ) e. t /\ ( z =/= t -> ( z i^i t ) = (/) ) ) -> ( ( f ` t ) e. z -> z = t ) )
31	30	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( f ` t ) e. t /\ ( z =/= t -> ( z i^i t ) = (/) ) ) /\ ( f ` t ) e. z ) -> z = t )
32	25, 31	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( f ` t ) e. t /\ ( z =/= t -> ( z i^i t ) = (/) ) ) /\ ( ( f ` t ) = v /\ v e. z ) ) -> z = t )
33		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( z = t -> ( f ` z ) = ( f ` t ) )
34		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( f ` t ) = v -> ( ( f ` z ) = ( f ` t ) <-> ( f ` z ) = v ) )
35		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( f ` z ) = v <-> v = ( f ` z ) )
36	34, 35	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( f ` t ) = v -> ( ( f ` z ) = ( f ` t ) <-> v = ( f ` z ) ) )
37	33, 36	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( f ` t ) = v -> ( z = t -> v = ( f ` z ) ) )
38	37	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( f ` t ) e. t /\ ( z =/= t -> ( z i^i t ) = (/) ) ) /\ ( ( f ` t ) = v /\ v e. z ) ) -> ( z = t -> v = ( f ` z ) ) )
39	32, 38	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( f ` t ) e. t /\ ( z =/= t -> ( z i^i t ) = (/) ) ) /\ ( ( f ` t ) = v /\ v e. z ) ) -> v = ( f ` z ) )
40	39	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( f ` t ) e. t /\ ( z =/= t -> ( z i^i t ) = (/) ) ) -> ( ( f ` t ) = v -> ( v e. z -> v = ( f ` z ) ) ) )
41	23, 40	syl6com 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A. w e. x ( ( f ` w ) e. w /\ ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> ( t e. x -> ( ( f ` t ) = v -> ( v e. z -> v = ( f ` z ) ) ) ) )
42	41	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v e. z -> ( t e. x -> ( ( f ` t ) = v -> ( A. w e. x ( ( f ` w ) e. w /\ ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> v = ( f ` z ) ) ) ) )
43	42	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v e. z -> ( E. t e. x ( f ` t ) = v -> ( A. w e. x ( ( f ` w ) e. w /\ ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> v = ( f ` z ) ) ) )
44	14, 43	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. z -> ( ( v e. ran f /\ f Fn x ) -> ( A. w e. x ( ( f ` w ) e. w /\ ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> v = ( f ` z ) ) ) )
45	44	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. z -> ( v e. ran f -> ( f Fn x -> ( A. w e. x ( ( f ` w ) e. w /\ ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> v = ( f ` z ) ) ) ) )
46	45	com4t 93	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f Fn x -> ( A. w e. x ( ( f ` w ) e. w /\ ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> ( v e. z -> ( v e. ran f -> v = ( f ` z ) ) ) ) )
47	46	imp4b 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f Fn x /\ A. w e. x ( ( f ` w ) e. w /\ ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( ( v e. z /\ v e. ran f ) -> v = ( f ` z ) ) )
48	12, 47	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f Fn x /\ A. w e. x ( ( f ` w ) e. w /\ ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( v e. ( z i^i ran f ) -> v = ( f ` z ) ) )
49	11, 48	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f Fn x /\ ( A. w e. x ( f ` w ) e. w /\ A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) ) -> ( v e. ( z i^i ran f ) -> v = ( f ` z ) ) )
50	49	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f Fn x /\ A. w e. x ( f ` w ) e. w ) /\ A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> ( v e. ( z i^i ran f ) -> v = ( f ` z ) ) )
51	50	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f Fn x /\ A. w e. x ( f ` w ) e. w ) /\ z e. x ) /\ A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> ( v e. ( z i^i ran f ) -> v = ( f ` z ) ) )
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = z -> ( f ` w ) = ( f ` z ) )
53		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = z -> w = z )
54	52, 53	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = z -> ( ( f ` w ) e. w <-> ( f ` z ) e. z ) )
55	54	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. x -> ( A. w e. x ( f ` w ) e. w -> ( f ` z ) e. z ) )
56		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( f Fn x /\ z e. x ) -> ( f ` z ) e. ran f )
57	56	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. x -> ( f Fn x -> ( f ` z ) e. ran f ) )
58	55, 57	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. x -> ( ( A. w e. x ( f ` w ) e. w /\ f Fn x ) -> ( ( f ` z ) e. z /\ ( f ` z ) e. ran f ) ) )
59		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( f ` z ) e. ( z i^i ran f ) <-> ( ( f ` z ) e. z /\ ( f ` z ) e. ran f ) )
60	58, 59	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. x -> ( ( A. w e. x ( f ` w ) e. w /\ f Fn x ) -> ( f ` z ) e. ( z i^i ran f ) ) )
61	60	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. x -> ( A. w e. x ( f ` w ) e. w -> ( f Fn x -> ( f ` z ) e. ( z i^i ran f ) ) ) )
62	61	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f Fn x -> ( A. w e. x ( f ` w ) e. w -> ( z e. x -> ( f ` z ) e. ( z i^i ran f ) ) ) )
63	62	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f Fn x /\ A. w e. x ( f ` w ) e. w ) /\ z e. x ) -> ( f ` z ) e. ( z i^i ran f ) )
64		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = ( f ` z ) -> ( v e. ( z i^i ran f ) <-> ( f ` z ) e. ( z i^i ran f ) ) )
65	63, 64	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f Fn x /\ A. w e. x ( f ` w ) e. w ) /\ z e. x ) -> ( v = ( f ` z ) -> v e. ( z i^i ran f ) ) )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f Fn x /\ A. w e. x ( f ` w ) e. w ) /\ z e. x ) /\ A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> ( v = ( f ` z ) -> v e. ( z i^i ran f ) ) )
67	51, 66	impbid 202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f Fn x /\ A. w e. x ( f ` w ) e. w ) /\ z e. x ) /\ A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> ( v e. ( z i^i ran f ) <-> v = ( f ` z ) ) )
68	67	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f Fn x /\ A. w e. x ( f ` w ) e. w ) /\ z e. x ) -> ( A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> ( v e. ( z i^i ran f ) <-> v = ( f ` z ) ) ) )
69	68	alrimdv 1857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f Fn x /\ A. w e. x ( f ` w ) e. w ) /\ z e. x ) -> ( A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> A. v ( v e. ( z i^i ran f ) <-> v = ( f ` z ) ) ) )
70		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f ` z ) e. _V
71		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = ( f ` z ) -> ( v = h <-> v = ( f ` z ) ) )
72	71	bibi2d 332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = ( f ` z ) -> ( ( v e. ( z i^i ran f ) <-> v = h ) <-> ( v e. ( z i^i ran f ) <-> v = ( f ` z ) ) ) )
73	72	albidv 1849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = ( f ` z ) -> ( A. v ( v e. ( z i^i ran f ) <-> v = h ) <-> A. v ( v e. ( z i^i ran f ) <-> v = ( f ` z ) ) ) )
74	70, 73	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. v ( v e. ( z i^i ran f ) <-> v = ( f ` z ) ) -> E. h A. v ( v e. ( z i^i ran f ) <-> v = h ) )
75		df-eu 2474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E! v v e. ( z i^i ran f ) <-> E. h A. v ( v e. ( z i^i ran f ) <-> v = h ) )
76	74, 75	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. v ( v e. ( z i^i ran f ) <-> v = ( f ` z ) ) -> E! v v e. ( z i^i ran f ) )
77	69, 76	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f Fn x /\ A. w e. x ( f ` w ) e. w ) /\ z e. x ) -> ( A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> E! v v e. ( z i^i ran f ) ) )
78	77	ralimdva 2962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f Fn x /\ A. w e. x ( f ` w ) e. w ) -> ( A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> A. z e. x E! v v e. ( z i^i ran f ) ) )
79	78	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( f Fn x -> ( A. w e. x ( f ` w ) e. w -> ( A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> A. z e. x E! v v e. ( z i^i ran f ) ) ) )
80	10, 79	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( f Fn x -> ( ( A. w e. x ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) /\ A. z e. x z =/= (/) ) -> ( A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> A. z e. x E! v v e. ( z i^i ran f ) ) ) )
81	80	expd 452	. . . . . . 7 |- ( f Fn x -> ( A. w e. x ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) -> ( A. z e. x z =/= (/) -> ( A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) -> A. z e. x E! v v e. ( z i^i ran f ) ) ) ) )
82	81	imp4b 613	. . . . . 6 |- ( ( f Fn x /\ A. w e. x ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) ) -> ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> A. z e. x E! v v e. ( z i^i ran f ) ) )
83		vex 3203	. . . . . . . 8 |- f e. _V
84	83	rnex 7100	. . . . . . 7 |- ran f e. _V
85		ineq2 3808	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ran f -> ( z i^i y ) = ( z i^i ran f ) )
86	85	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( y = ran f -> ( v e. ( z i^i y ) <-> v e. ( z i^i ran f ) ) )
87	86	eubidv 2490	. . . . . . . 8 |- ( y = ran f -> ( E! v v e. ( z i^i y ) <-> E! v v e. ( z i^i ran f ) ) )
88	87	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( y = ran f -> ( A. z e. x E! v v e. ( z i^i y ) <-> A. z e. x E! v v e. ( z i^i ran f ) ) )
89	84, 88	spcev 3300	. . . . . 6 |- ( A. z e. x E! v v e. ( z i^i ran f ) -> E. y A. z e. x E! v v e. ( z i^i y ) )
90	82, 89	syl6 35	. . . . 5 |- ( ( f Fn x /\ A. w e. x ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) ) -> ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> E. y A. z e. x E! v v e. ( z i^i y ) ) )
91	90	exlimiv 1858	. . . 4 |- ( E. f ( f Fn x /\ A. w e. x ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) ) -> ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> E. y A. z e. x E! v v e. ( z i^i y ) ) )
92	91	alimi 1739	. . 3 |- ( A. x E. f ( f Fn x /\ A. w e. x ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) ) -> A. x ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> E. y A. z e. x E! v v e. ( z i^i y ) ) )
93	1, 92	sylbi 207	. 2 |- (CHOICE -> A. x ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> E. y A. z e. x E! v v e. ( z i^i y ) ) )
94		eqid 2622	. . . . 5 |- { u | ( u =/= (/) /\ E. t e. h u = ( { t } X. t ) ) } = { u | ( u =/= (/) /\ E. t e. h u = ( { t } X. t ) ) }
95		eqid 2622	. . . . 5 |- ( U. { u | ( u =/= (/) /\ E. t e. h u = ( { t } X. t ) ) } i^i y ) = ( U. { u | ( u =/= (/) /\ E. t e. h u = ( { t } X. t ) ) } i^i y )
96		biid 251	. . . . 5 |- ( A. x ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> E. y A. z e. x E! v v e. ( z i^i y ) ) <-> A. x ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> E. y A. z e. x E! v v e. ( z i^i y ) ) )
97	94, 95, 96	dfac5lem5 8950	. . . 4 |- ( A. x ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> E. y A. z e. x E! v v e. ( z i^i y ) ) -> E. f A. w e. h ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) )
98	97	alrimiv 1855	. . 3 |- ( A. x ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> E. y A. z e. x E! v v e. ( z i^i y ) ) -> A. h E. f A. w e. h ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) )
99		dfac3 8944	. . 3 |- (CHOICE <-> A. h E. f A. w e. h ( w =/= (/) -> ( f ` w ) e. w ) )
100	98, 99	sylibr 224	. 2 |- ( A. x ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> E. y A. z e. x E! v v e. ( z i^i y ) ) -> CHOICE )
101	93, 100	impbii 199	1 |- (CHOICE <-> A. x ( ( A. z e. x z =/= (/) /\ A. z e. x A. w e. x ( z =/= w -> ( z i^i w ) = (/) ) ) -> E. y A. z e. x E! v v e. ( z i^i y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  CHOICEwac 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  dfackm  8988  ac8  9314