Theorem disjiun 4640

Description: A disjoint collection yields disjoint indexed unions for disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
disjiun	|- ( (Disj x e. A B /\ ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) = (/) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem disjiun

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-disj 4621	. . . 4 |- (Disj x e. A B <-> A. y E* x e. A y e. B )
2		elin 3796	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) <-> ( y e. U_ x e. C B /\ y e. U_ x e. D B ) )
3		eliun 4524	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. U_ x e. C B <-> E. x e. C y e. B )
4		eliun 4524	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. U_ x e. D B <-> E. x e. D y e. B )
5	3, 4	anbi12i 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. U_ x e. C B /\ y e. U_ x e. D B ) <-> ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) )
6	2, 5	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) <-> ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) )
7		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ z y e. B
8	7	rmo2 3526	. . . . . . . . . . 11 |- ( E* x e. A y e. B <-> E. z A. x e. A ( y e. B -> x = z ) )
9		an4 865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C C_ A /\ D C_ A ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) <-> ( ( C C_ A /\ E. x e. C y e. B ) /\ ( D C_ A /\ E. x e. D y e. B ) ) )
10		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( C C_ A -> ( A. x e. A ( y e. B -> x = z ) -> A. x e. C ( y e. B -> x = z ) ) )
11	10	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. x e. A ( y e. B -> x = z ) /\ C C_ A ) -> A. x e. C ( y e. B -> x = z ) )
12		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. x e. C ( y e. B -> x = z ) /\ E. x e. C y e. B ) -> E. x e. C ( ( y e. B -> x = z ) /\ y e. B ) )
13		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. B -> x = z ) -> ( y e. B -> x = z ) )
14	13	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. B -> x = z ) /\ y e. B ) -> x = z )
15	14	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. B -> x = z ) /\ y e. B ) -> ( x e. C <-> z e. C ) )
16	15	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. C -> ( ( ( y e. B -> x = z ) /\ y e. B ) -> z e. C ) )
17	16	rexlimiv 3027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E. x e. C ( ( y e. B -> x = z ) /\ y e. B ) -> z e. C )
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. x e. C ( y e. B -> x = z ) /\ E. x e. C y e. B ) -> z e. C )
19	18	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. x e. C ( y e. B -> x = z ) -> ( E. x e. C y e. B -> z e. C ) )
20	11, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. x e. A ( y e. B -> x = z ) /\ C C_ A ) -> ( E. x e. C y e. B -> z e. C ) )
21	20	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. A ( y e. B -> x = z ) -> ( ( C C_ A /\ E. x e. C y e. B ) -> z e. C ) )
22		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( D C_ A -> ( A. x e. A ( y e. B -> x = z ) -> A. x e. D ( y e. B -> x = z ) ) )
23	22	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. x e. A ( y e. B -> x = z ) /\ D C_ A ) -> A. x e. D ( y e. B -> x = z ) )
24		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. x e. D ( y e. B -> x = z ) /\ E. x e. D y e. B ) -> E. x e. D ( ( y e. B -> x = z ) /\ y e. B ) )
25	14	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. B -> x = z ) /\ y e. B ) -> ( x e. D <-> z e. D ) )
26	25	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. D -> ( ( ( y e. B -> x = z ) /\ y e. B ) -> z e. D ) )
27	26	rexlimiv 3027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E. x e. D ( ( y e. B -> x = z ) /\ y e. B ) -> z e. D )
28	24, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. x e. D ( y e. B -> x = z ) /\ E. x e. D y e. B ) -> z e. D )
29	28	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. x e. D ( y e. B -> x = z ) -> ( E. x e. D y e. B -> z e. D ) )
30	23, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. x e. A ( y e. B -> x = z ) /\ D C_ A ) -> ( E. x e. D y e. B -> z e. D ) )
31	30	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. A ( y e. B -> x = z ) -> ( ( D C_ A /\ E. x e. D y e. B ) -> z e. D ) )
32	21, 31	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. A ( y e. B -> x = z ) -> ( ( ( C C_ A /\ E. x e. C y e. B ) /\ ( D C_ A /\ E. x e. D y e. B ) ) -> ( z e. C /\ z e. D ) ) )
33		inelcm 4032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. C /\ z e. D ) -> ( C i^i D ) =/= (/) )
34	32, 33	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. A ( y e. B -> x = z ) -> ( ( ( C C_ A /\ E. x e. C y e. B ) /\ ( D C_ A /\ E. x e. D y e. B ) ) -> ( C i^i D ) =/= (/) ) )
35	34	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z A. x e. A ( y e. B -> x = z ) -> ( ( ( C C_ A /\ E. x e. C y e. B ) /\ ( D C_ A /\ E. x e. D y e. B ) ) -> ( C i^i D ) =/= (/) ) )
36	9, 35	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z A. x e. A ( y e. B -> x = z ) -> ( ( ( C C_ A /\ D C_ A ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) -> ( C i^i D ) =/= (/) ) )
37	36	expd 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z A. x e. A ( y e. B -> x = z ) -> ( ( C C_ A /\ D C_ A ) -> ( ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) -> ( C i^i D ) =/= (/) ) ) )
38	8, 37	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( E* x e. A y e. B -> ( ( C C_ A /\ D C_ A ) -> ( ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) -> ( C i^i D ) =/= (/) ) ) )
39	38	impcom 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C C_ A /\ D C_ A ) /\ E* x e. A y e. B ) -> ( ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) -> ( C i^i D ) =/= (/) ) )
40	6, 39	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C C_ A /\ D C_ A ) /\ E* x e. A y e. B ) -> ( y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) -> ( C i^i D ) =/= (/) ) )
41	40	necon2bd 2810	. . . . . . 7 |- ( ( ( C C_ A /\ D C_ A ) /\ E* x e. A y e. B ) -> ( ( C i^i D ) = (/) -> -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) ) )
42	41	impancom 456	. . . . . 6 |- ( ( ( C C_ A /\ D C_ A ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) -> ( E* x e. A y e. B -> -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) ) )
43	42	3impa 1259	. . . . 5 |- ( ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) -> ( E* x e. A y e. B -> -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) ) )
44	43	alimdv 1845	. . . 4 |- ( ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) -> ( A. y E* x e. A y e. B -> A. y -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) ) )
45	1, 44	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) -> (Disj x e. A B -> A. y -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) ) )
46	45	impcom 446	. 2 |- ( (Disj x e. A B /\ ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) -> A. y -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) )
47		eq0 3929	. 2 |- ( ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) = (/) <-> A. y -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) )
48	46, 47	sylibr 224	1 |- ( (Disj x e. A B /\ ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E*wrmo 2915   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rmo 2920  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-iun 4522  df-disj 4621

This theorem is referenced by:  disjxiun  4649  disjxiunOLD  4650  fsumiun  14553  uniioombllem4  23354  disjiun2  39226  sge0iunmptlemfi  40630