Theorem dissnref 21331

Description: The set of singletons is a refinement of any open covering of the discrete topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
dissnref.c	|- C = { u | E. x e. X u = { x } }

Assertion

Ref	Expression
dissnref	|- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> C Ref Y )

Distinct variable groups:   u, C, x   u, V, x   u, X, x   u, Y, x

Proof of Theorem dissnref

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . 3 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> U. Y = X )
2		dissnref.c	. . . 4 |- C = { u | E. x e. X u = { x } }
3	2	unisngl 21330	. . 3 |- X = U. C
4	1, 3	syl6eq 2672	. 2 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> U. Y = U. C )
5		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) /\ ( y e. Y /\ x e. y ) ) -> u = { x } )
6		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) /\ ( y e. Y /\ x e. y ) ) -> x e. y )
7	6	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) /\ ( y e. Y /\ x e. y ) ) -> { x } C_ y )
8	5, 7	eqsstrd 3639	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) /\ ( y e. Y /\ x e. y ) ) -> u C_ y )
9		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> x e. X )
10		simp-4r 807	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> U. Y = X )
11	9, 10	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> x e. U. Y )
12		eluni2 4440	. . . . . 6 |- ( x e. U. Y <-> E. y e. Y x e. y )
13	11, 12	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> E. y e. Y x e. y )
14	8, 13	reximddv 3018	. . . 4 |- ( ( ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> E. y e. Y u C_ y )
15	2	abeq2i 2735	. . . . . 6 |- ( u e. C <-> E. x e. X u = { x } )
16	15	biimpi 206	. . . . 5 |- ( u e. C -> E. x e. X u = { x } )
17	16	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) -> E. x e. X u = { x } )
18	14, 17	r19.29a 3078	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ U. Y = X ) /\ u e. C ) -> E. y e. Y u C_ y )
19	18	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> A. u e. C E. y e. Y u C_ y )
20		pwexg 4850	. . . . 5 |- ( X e. V -> ~P X e. _V )
21		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. C /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> u = { x } )
22		snelpwi 4912	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X -> { x } e. ~P X )
23	22	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u e. C /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> { x } e. ~P X )
24	21, 23	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u e. C /\ x e. X ) /\ u = { x } ) -> u e. ~P X )
25	24, 16	r19.29a 3078	. . . . . . 7 |- ( u e. C -> u e. ~P X )
26	25	ssriv 3607	. . . . . 6 |- C C_ ~P X
27	26	a1i 11	. . . . 5 |- ( X e. V -> C C_ ~P X )
28	20, 27	ssexd 4805	. . . 4 |- ( X e. V -> C e. _V )
29	28	adantr 481	. . 3 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> C e. _V )
30		eqid 2622	. . . 4 |- U. C = U. C
31		eqid 2622	. . . 4 |- U. Y = U. Y
32	30, 31	isref 21312	. . 3 |- ( C e. _V -> ( C Ref Y <-> ( U. Y = U. C /\ A. u e. C E. y e. Y u C_ y ) ) )
33	29, 32	syl 17	. 2 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> ( C Ref Y <-> ( U. Y = U. C /\ A. u e. C E. y e. Y u C_ y ) ) )
34	4, 19, 33	mpbir2and 957	1 |- ( ( X e. V /\ U. Y = X ) -> C Ref Y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   Refcref 21305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-ref 21308

This theorem is referenced by:  dispcmp  29926