Theorem distel 31709

Description: Distinctors in terms of membership. (NOTE: this only works with relations where we can prove el 4847 and elirrv 8504.) (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2010.)

Assertion

Ref	Expression
distel	|- ( -. A. y y = x <-> -. A. y -. x e. y )

Proof of Theorem distel

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		el 4847	. . 3 |- E. z x e. z
2		df-ex 1705	. . . 4 |- ( E. z x e. z <-> -. A. z -. x e. z )
3		nfnae 2318	. . . . . 6 |- F/ y -. A. y y = x
4		dveel1 2370	. . . . . . . 8 |- ( -. A. y y = x -> ( x e. z -> A. y x e. z ) )
5	3, 4	nf5d 2118	. . . . . . 7 |- ( -. A. y y = x -> F/ y x e. z )
6	5	nfnd 1785	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = x -> F/ y -. x e. z )
7		elequ2 2004	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( x e. z <-> x e. y ) )
8	7	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( -. x e. z <-> -. x e. y ) )
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( -. A. y y = x -> ( z = y -> ( -. x e. z <-> -. x e. y ) ) )
10	3, 6, 9	cbvald 2277	. . . . 5 |- ( -. A. y y = x -> ( A. z -. x e. z <-> A. y -. x e. y ) )
11	10	notbid 308	. . . 4 |- ( -. A. y y = x -> ( -. A. z -. x e. z <-> -. A. y -. x e. y ) )
12	2, 11	syl5bb 272	. . 3 |- ( -. A. y y = x -> ( E. z x e. z <-> -. A. y -. x e. y ) )
13	1, 12	mpbii 223	. 2 |- ( -. A. y y = x -> -. A. y -. x e. y )
14		elirrv 8504	. . . . 5 |- -. y e. y
15		elequ1 1997	. . . . 5 |- ( y = x -> ( y e. y <-> x e. y ) )
16	14, 15	mtbii 316	. . . 4 |- ( y = x -> -. x e. y )
17	16	alimi 1739	. . 3 |- ( A. y y = x -> A. y -. x e. y )
18	17	con3i 150	. 2 |- ( -. A. y -. x e. y -> -. A. y y = x )
19	13, 18	impbii 199	1 |- ( -. A. y y = x <-> -. A. y -. x e. y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   E.wex 1704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by: (None)