Theorem elfm2 21752

Description: An element of a mapping filter. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfm2.l	|- L = ( Y filGen B )

Assertion

Ref	Expression
elfm2	|- ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( X FilMap F ) ` B ) <-> ( A C_ X /\ E. x e. L ( F " x ) C_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, C   x, F   x, X   x, A   x, L   x, Y

Proof of Theorem elfm2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfm 21751	. 2 |- ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( X FilMap F ) ` B ) <-> ( A C_ X /\ E. y e. B ( F " y ) C_ A ) ) )
2		ssfg 21676	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> B C_ ( Y filGen B ) )
3		elfm2.l	. . . . . . . . . 10 |- L = ( Y filGen B )
4	2, 3	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> B C_ L )
5	4	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ y e. B ) -> y e. L )
6	5	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ ( y e. B /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> y e. L )
7	6	3ad2antl2 1224	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ ( y e. B /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> y e. L )
8		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ ( y e. B /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> ( F " y ) C_ A )
9		imaeq2 5462	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( F " x ) = ( F " y ) )
10	9	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( F " x ) C_ A <-> ( F " y ) C_ A ) )
11	10	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( y e. L /\ ( F " y ) C_ A ) -> E. x e. L ( F " x ) C_ A )
12	7, 8, 11	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ ( y e. B /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> E. x e. L ( F " x ) C_ A )
13	12	rexlimdvaa 3032	. . . 4 |- ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( E. y e. B ( F " y ) C_ A -> E. x e. L ( F " x ) C_ A ) )
14	3	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( x e. L <-> x e. ( Y filGen B ) )
15		elfg 21675	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> ( x e. ( Y filGen B ) <-> ( x C_ Y /\ E. y e. B y C_ x ) ) )
16	14, 15	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> ( x e. L <-> ( x C_ Y /\ E. y e. B y C_ x ) ) )
17	16	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( x e. L <-> ( x C_ Y /\ E. y e. B y C_ x ) ) )
18		imass2 5501	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ x -> ( F " y ) C_ ( F " x ) )
19		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F " y ) C_ ( F " x ) -> ( ( F " x ) C_ A -> ( F " y ) C_ A ) )
20	19	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " x ) C_ A -> ( ( F " y ) C_ ( F " x ) -> ( F " y ) C_ A ) )
21	20	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ ( x C_ Y /\ ( F " x ) C_ A ) ) -> ( ( F " y ) C_ ( F " x ) -> ( F " y ) C_ A ) )
22	18, 21	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ ( x C_ Y /\ ( F " x ) C_ A ) ) -> ( y C_ x -> ( F " y ) C_ A ) )
23	22	reximdv 3016	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ ( x C_ Y /\ ( F " x ) C_ A ) ) -> ( E. y e. B y C_ x -> E. y e. B ( F " y ) C_ A ) )
24	23	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ x C_ Y ) -> ( ( F " x ) C_ A -> ( E. y e. B y C_ x -> E. y e. B ( F " y ) C_ A ) ) )
25	24	com23 86	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ x C_ Y ) -> ( E. y e. B y C_ x -> ( ( F " x ) C_ A -> E. y e. B ( F " y ) C_ A ) ) )
26	25	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( x C_ Y /\ E. y e. B y C_ x ) -> ( ( F " x ) C_ A -> E. y e. B ( F " y ) C_ A ) ) )
27	17, 26	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( x e. L -> ( ( F " x ) C_ A -> E. y e. B ( F " y ) C_ A ) ) )
28	27	rexlimdv 3030	. . . 4 |- ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( E. x e. L ( F " x ) C_ A -> E. y e. B ( F " y ) C_ A ) )
29	13, 28	impbid 202	. . 3 |- ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( E. y e. B ( F " y ) C_ A <-> E. x e. L ( F " x ) C_ A ) )
30	29	anbi2d 740	. 2 |- ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( A C_ X /\ E. y e. B ( F " y ) C_ A ) <-> ( A C_ X /\ E. x e. L ( F " x ) C_ A ) ) )
31	1, 30	bitrd 268	1 |- ( ( X e. C /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( X FilMap F ) ` B ) <-> ( A C_ X /\ E. x e. L ( F " x ) C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   C_ wss 3574   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   FilMap cfm 21737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fm 21742

This theorem is referenced by:  fmfg  21753  elfm3  21754  imaelfm  21755