Theorem elfm3 21754

Description: An alternate formulation of elementhood in a mapping filter that requires F to be onto. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Oct-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfm2.l	|- L = ( Y filGen B )

Assertion

Ref	Expression
elfm3	|- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( A e. ( ( X FilMap F ) ` B ) <-> E. x e. L A = ( F " x ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, F   x, X   x, A   x, L   x, Y

Proof of Theorem elfm3

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foima 6120	. . . 4 |- ( F : Y -onto-> X -> ( F " Y ) = X )
2	1	adantl 482	. . 3 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( F " Y ) = X )
3		fofun 6116	. . . 4 |- ( F : Y -onto-> X -> Fun F )
4		elfvdm 6220	. . . 4 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> Y e. dom fBas )
5		funimaexg 5975	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ Y e. dom fBas ) -> ( F " Y ) e. _V )
6	3, 4, 5	syl2anr 495	. . 3 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( F " Y ) e. _V )
7	2, 6	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> X e. _V )
8		fof 6115	. . . . 5 |- ( F : Y -onto-> X -> F : Y --> X )
9		elfm2.l	. . . . . 6 |- L = ( Y filGen B )
10	9	elfm2 21752	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( X FilMap F ) ` B ) <-> ( A C_ X /\ E. y e. L ( F " y ) C_ A ) ) )
11	8, 10	syl3an3 1361	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( A e. ( ( X FilMap F ) ` B ) <-> ( A C_ X /\ E. y e. L ( F " y ) C_ A ) ) )
12		fgcl 21682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> ( Y filGen B ) e. ( Fil ` Y ) )
13	9, 12	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
14	13	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ ( y e. L /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
16		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ ( y e. L /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> y e. L )
17		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " A ) C_ dom F
18		fofn 6117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : Y -onto-> X -> F Fn Y )
19		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn Y -> dom F = Y )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : Y -onto-> X -> dom F = Y )
21	17, 20	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : Y -onto-> X -> ( `' F " A ) C_ Y )
22	21	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( `' F " A ) C_ Y )
23	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ ( y e. L /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> ( `' F " A ) C_ Y )
24	3	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> Fun F )
25	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ y e. L ) -> Fun F )
26	9	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. L <-> y e. ( Y filGen B ) )
27		elfg 21675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> ( y e. ( Y filGen B ) <-> ( y C_ Y /\ E. z e. B z C_ y ) ) )
28	27	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( y e. ( Y filGen B ) <-> ( y C_ Y /\ E. z e. B z C_ y ) ) )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) -> ( y e. ( Y filGen B ) <-> ( y C_ Y /\ E. z e. B z C_ y ) ) )
30	26, 29	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) -> ( y e. L <-> ( y C_ Y /\ E. z e. B z C_ y ) ) )
31	30	simprbda 653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ y e. L ) -> y C_ Y )
32		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( dom F = Y -> ( y C_ dom F <-> y C_ Y ) )
33	32	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( dom F = Y /\ y C_ Y ) -> y C_ dom F )
34	20, 33	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : Y -onto-> X /\ y C_ Y ) -> y C_ dom F )
35	34	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ y C_ Y ) -> y C_ dom F )
36	35	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ y C_ Y ) -> y C_ dom F )
37	31, 36	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ y e. L ) -> y C_ dom F )
38		funimass3 6333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ y C_ dom F ) -> ( ( F " y ) C_ A <-> y C_ ( `' F " A ) ) )
39	25, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ y e. L ) -> ( ( F " y ) C_ A <-> y C_ ( `' F " A ) ) )
40	39	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ y e. L ) -> ( ( F " y ) C_ A -> y C_ ( `' F " A ) ) )
41	40	impr 649	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ ( y e. L /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> y C_ ( `' F " A ) )
42		filss 21657	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ ( y e. L /\ ( `' F " A ) C_ Y /\ y C_ ( `' F " A ) ) ) -> ( `' F " A ) e. L )
43	15, 16, 23, 41, 42	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ ( y e. L /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> ( `' F " A ) e. L )
44		foimacnv 6154	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : Y -onto-> X /\ A C_ X ) -> ( F " ( `' F " A ) ) = A )
45	44	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : Y -onto-> X /\ A C_ X ) -> A = ( F " ( `' F " A ) ) )
46	45	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) -> A = ( F " ( `' F " A ) ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ ( y e. L /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> A = ( F " ( `' F " A ) ) )
48		imaeq2 5462	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F " A ) -> ( F " x ) = ( F " ( `' F " A ) ) )
49	48	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F " A ) -> ( A = ( F " x ) <-> A = ( F " ( `' F " A ) ) ) )
50	49	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F " A ) e. L /\ A = ( F " ( `' F " A ) ) ) -> E. x e. L A = ( F " x ) )
51	43, 47, 50	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) /\ ( y e. L /\ ( F " y ) C_ A ) ) -> E. x e. L A = ( F " x ) )
52	51	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ A C_ X ) -> ( E. y e. L ( F " y ) C_ A -> E. x e. L A = ( F " x ) ) )
53	52	expimpd 629	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( ( A C_ X /\ E. y e. L ( F " y ) C_ A ) -> E. x e. L A = ( F " x ) ) )
54		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ ( x e. L /\ A = ( F " x ) ) ) -> A = ( F " x ) )
55		imassrn 5477	. . . . . . . . 9 |- ( F " x ) C_ ran F
56		forn 6118	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : Y -onto-> X -> ran F = X )
57	56	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ran F = X )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ ( x e. L /\ A = ( F " x ) ) ) -> ran F = X )
59	55, 58	syl5sseq 3653	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ ( x e. L /\ A = ( F " x ) ) ) -> ( F " x ) C_ X )
60	54, 59	eqsstrd 3639	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ ( x e. L /\ A = ( F " x ) ) ) -> A C_ X )
61		eqimss2 3658	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( F " x ) -> ( F " x ) C_ A )
62		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( F " y ) = ( F " x ) )
63	62	sseq1d 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( ( F " y ) C_ A <-> ( F " x ) C_ A ) )
64	63	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. L /\ ( F " x ) C_ A ) -> E. y e. L ( F " y ) C_ A )
65	61, 64	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. L /\ A = ( F " x ) ) -> E. y e. L ( F " y ) C_ A )
66	65	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ ( x e. L /\ A = ( F " x ) ) ) -> E. y e. L ( F " y ) C_ A )
67	60, 66	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) /\ ( x e. L /\ A = ( F " x ) ) ) -> ( A C_ X /\ E. y e. L ( F " y ) C_ A ) )
68	67	rexlimdvaa 3032	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( E. x e. L A = ( F " x ) -> ( A C_ X /\ E. y e. L ( F " y ) C_ A ) ) )
69	53, 68	impbid 202	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( ( A C_ X /\ E. y e. L ( F " y ) C_ A ) <-> E. x e. L A = ( F " x ) ) )
70	11, 69	bitrd 268	. . 3 |- ( ( X e. _V /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( A e. ( ( X FilMap F ) ` B ) <-> E. x e. L A = ( F " x ) ) )
71	70	3coml 1272	. 2 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X /\ X e. _V ) -> ( A e. ( ( X FilMap F ) ` B ) <-> E. x e. L A = ( F " x ) ) )
72	7, 71	mpd3an3 1425	1 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y -onto-> X ) -> ( A e. ( ( X FilMap F ) ` B ) <-> E. x e. L A = ( F " x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Filcfil 21649   FilMap cfm 21737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-fm 21742

This theorem is referenced by:  fmid  21764